Мировые константы π и е в Природе

Всем, кто хотя бы соприкоснулся с математикой, известно, что π – число, равное отношению длины окружности к ее диаметру, а е – основание натуральных логарифмов. Указанные числа входят во множество формул математики, физики, химии, биологии, а также экономики. Это свидетельствует о том, что они отражают некоторые самые общие законы природы. Предлагается популярный анализ мировых констант π и е, основанный на рассмотрении основных свойств пространства и времени.

Число π и сферическая симметрия пространства

Название числа π произошло от греческого περιφερεια – окружность. Последняя представляет собой множество точек, лежащих на периферии по отношению к центральной точке, а вернее – находящихся от нее на одинаковом расстоянии, называемом радиусом. В то же время сухая формула из математического анализа, позволяющая вычислить число π с любой точностью так определяет это число:

π =4(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …) ≈ 3,14159…

Здесь представлен знаменитый ряд Лейбница (есть и другие ряды). Однако уловить физический смысл π и связь его с окружностью по этой формуле довольно трудно. Между тем особая роль окружности в пространстве нашей Вселенной вытекает из одинаковости свойств пустого эвклидова пространства по любому направлению, то есть изотропности пространства. Это можно пояснить так: для наблюдателя в идеальном изотропном пространстве линия горизонта – окружность. А окружности с данными центром и радиусом составляют сферу. В теоретической физике именно с этим свойством связан закон сохранения вращательного момента. Отсюда же вытекают общеизвестные следствия.

Первое. Длина дуги окружности, в которой умещается ее радиус, составляет естественную дуговую и угловую единицу – радиан (рад). Эта единица безразмерная. Чтобы найти число радианов в дуге окружности, надо измерить ее длину и разделить на длину радиуса (допустим, в метрах, которые при делении сокращаются).

Величина вероятности попадания в круглую мишень (R – радиус) при прицеливании в центр (0) круга отложена вверх по оси z. Она может быть вычислена для любого отклонения (х) от центра с помощью

формулы Гаусса φ(x) =

Число π отражает равноправность случайных отклонений по всем направлениям в сферически симметричном пространстве.

Вдоль любой полной окружности ее радиус укладывается приблизительно 6,28 раза. Точнее, полная дуга содержит 2π радианов.

Такой безусловный результат получают все люди, в каких бы цивилизациях они ни жили, какими бы системами счисления ни пользовались, причем без обмена информацией. Колесо, в каком конце Земли его ни изобрели, везде одинаково. Однако условные единицы измерения дуги выбирались различные. Например, наш угловой и дуговой градус введен вавилонскими жрецами, подсчитавшими, что диск Солнца, находящегося почти в зените над Вавилоном, укладывается на своем пути от рассвета до заката 180 раз. Таким образом, под углом примерно в полградуса мы с вами видим радиус Солнца: 1 градус ≈ 0,0175 рад, и обратно: 1 рад ≈ 57,3°. Можно предположить, что гипотетические инопланетные цивилизации хорошо поняли бы друг друга, обменявшись первыми посланиями, в которых окружность была бы разделена на шесть частей «с хвостиком»; это означало бы, что «партнер по переговорам» уже, как минимум, прошел стадию изобретения колеса и знаком с числом π.

Второе. Предназначение тригонометрических функций – выражать соотношения между дуговыми и линейными размерами объектов, а также между пространственными параметрами процессов, происходящих в сферически симметричном пространстве. Из сказанного ясно, почему аргументы тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса) в принципе безразмерны, как и у других типов функций, то есть эти действительные числа – точки на числовой оси. Градус же на ней – доля единичного безразмерного отрезка, равного радиану, и потому он не имеет размерности.

Далеко не каждый сможет, не пользуясь калькулятором, правильно ответить на вопрос, чему равен cos 1 (это приблизительно 0,5), или на несколько более сложный – чему равен arctg (π/3). Последний пример особенно сбивает с толку. Часто говорят, что это бессмыслица: «Чему равна дуга, арктангенс которой равен 60°?» Если сформулировать вопрос именно так, то ошибка заключается в применении градусной меры к аргументу арктангенса. Правильный ответ получится, если аргумент выражать в радианах: arctg (3.14/3) ≈ arctg 1 = π/4 ≈ 3/4. Еще одно замечание. К сожалению, сплошь и рядом абитуриенты и студенты считают, что π = 180°. Приходится их поправлять: π = 3,14.... Но, конечно, можно сказать и так; π радианов равно 180°.

Нетривиальная ситуация встречается и в теории вероятностей. Она касается нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей и важной формулы вероятности случайной ошибки (или случайного отклонения), в которую входит число π. Откуда оно тут появилось? Как вероятность связана с окружностями? Наглядной иллюстрацией ответа на этот вопрос служит пример со стрельбой по мишени в неизменных условиях. Дырочки на мишени рассеяны по кругу (!), так как стрельба происходит в сферически симметричном пространстве, в котором равновероятны случайные отклонения по любым направлениям. Теперь понятно, почему вероятность попадания в круг с центром в центральной точке мишени и любым заданным радиусом вычисляется по формуле, содержащей число л.

По первой букве фамилии Эйлер

Формула для вычисления другой мировой константы, е, выглядит так:

е= 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... ≈ 2.7183... (напоминаем, что факториал n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙...· n). Математически безупречное определение числа е с помощью этого ряда никак не проясняет его связи с физическими или иными природными явлениями. И если число π; отражает геометрические свойства пространства «пустой» Вселенной, то число е, являющееся основанием экспоненциальной функции (экспоненты), отражает еще и эволюцию живой природы во Вселенной, то есть законы развития и деятельности организмов на Земле. Но сначала – о роли экспоненты в эволюции неживой материи, которая касается таких явлений, как распад радиоактивных элементов, износ и разрушение материалов, волновые процессы... (В интерпретации изложенных ниже вопросов принял участие известный физик-теоретик доктор физико-математических наук В.Д. Эфрос.)

Обратимся к распространению электромагнитных волн в вакууме. Причем вакуум мы будем понимать как классическое пустое пространство, не касаясь сложнейшей природы физического вакуума.

Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков. Родился в Швейцарии. В 1727-41 гг. жил и работал в России, член Петербургской академии наук. В его честь по первой букве фамилии Euler названо число е – основание натуральных логарифмов.

Известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такая волна описывается экспоненциальной функцией е^iβt = cos βt + i sin βt , где β – частота гармонических колебаний. Амплитуда волны – это коэффициент перед экспонентой, он положен для простоты равным 1. Экспоненту с мнимым показателем степени связывает с тригонометрическими функциями одна из самых гениальных математических формул – формула Эйлера. Именно в честь великого Леонарда Эйлера (1707-1783) по первой букве его фамилии и названо число е.

Сначала Эйлер нашел формулу е^iπ = –1. В ней впервые число возводилось в мнимую степень (!), что явилось, кстати, следствием соединения чисел π и е. Результат, казавшийся поначалу крайне непривычным, не имеющим отношения к реальности (почему числа и были названы мнимыми), оказался очень удобным для математического моделирования циклов движения по окружности, а следовательно, и для гармонических колебаний. Действительно, что будет, если колебательному движению маятника сообщить толчком второе колебательное движение в перпендикулярном направлении? Окончание маятника будет описывать окружности, если амплитуды обоих колебаний одинаковы. Но круговое движение станет возможным, только если второе колебание сдвинуто по фазе относительно первого колебания на полпериода, как сдвинута синусоида относительно косинусоиды. Ведь в момент наибольшего отклонения маятника по одной координате он имеет нулевое отклонение по перпендикулярной координате. И если на первой координатной оси отсчитывать действительные числа, то на второй координатной оси можно одновременно отсчитывать числа в том же масштабе, но это будет уже новое числовое множество. Оно-то и было названо множеством мнимых чисел, за единицу которых принята мнимая единица, обозначенная буквой i (imaginaire, франц. – мнимый, воображаемый).

Формулу Эйлера нужно пояснить, ибо в наше время из обычных школьных программ исключены комплексные числа. Комплексное число z = х + iy состоит из двух слагаемых – действительного и мнимого чисел. Последнее представляет собой действительное число у, умноженное на мнимую единицу i = √( – 1). Действительные числа откладывают вдоль действительной оси Ох, а мнимые – в том же масштабе вдоль мнимой оси Оу, единицей на которой служит i. Длина единичного отрезка есть модуль | i | = 1. Комплексному числу соответствует точка на плоскости с координатами (х, у). Физический смысл необычного вида числа е с показателем, содержащим только мнимые единицы i, означает движение точки по окружности цикл за циклом. Это равносильно колебаниям, описываемым сложением косинусоиды и синусоиды с постоянными и равными амплитудами, то есть незатухающим колебаниям.

Ясно, что в любой незатухающей волне соблюдаются законы сохранения энергии и импульса (количества движения), например, при прохождении звуковой волны в идеально упругой среде или электромагнитной волны в вакууме. Ситуацию можно строго сформулировать так. Если сместить начало отсчета по оси времени (момент наблюдения), то энергия волны не изменится, так как гармоническая волна сохранит ту же амплитуду и частоту (это энергетические единицы), изменится лишь фаза волны, то есть часть периода, отстоящая от нового начала отсчета (фаза не связана с энергией). Значит, параллельный перенос системы координат (он называется трансляцией) вдоль оси времени инвариантен для незатухающей волны в силу однородности времени t. Это и поясняет связь однородности времени с законом сохранения энергии.

Аналогично можно переносить систему вдоль оси пространственной координаты: для незатухающей волны не изменится ничего, кроме фазы. Сохранится и количество движения – импульс, который несет волна. Из теоретической физики известно, что однородность пространства приводит к закону сохранения импульса. Что такое импульс частицы? Это масса, умноженная на скорость. Представим себе, что пространство однородно по времени (и закон сохранения энергии выполняется), но неоднородно по какой-либо координате. Тогда в различных точках неоднородного пространства оказалась бы неоднородной и скорость, так как на единицу однородного времени приходились бы различные значения длины отрезков, пробегаемых за секунду частицей с данной массой (или волной с данным импульсом).

Итак, число е как основание функции комплексного переменного связано с законом сохранения энергии в замкнутой системе, который обусловлен однородностью времени, и с законом сохранения импульса, который обусловлен однородностью пространства.

И все-таки, почему именно число е, а не какое-то другое, вошло в формулу Эйлера и оказалось в основании волновой функции? Оставаясь в рамках школьных курсов математики и физики, ответить на этот вопрос непросто. Линейные и линеаризованные процессы сохраняют свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая является решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (ДУПК). Ядро такой функции – приведенная выше формула Эйлера, то есть функция комплексного переменного с основанием е, или уравнение волны.

Почему именно е, а не другое число находится в основании функции, которую ищут как решение данного уравнения волны в виде ДУПК? Да потому, что только функция е^t не изменяется при любом числе дифференцирований и интегрирований. А это нужно, чтобы после подстановки в уравнение его решения оно превратилось в тождество. Действительно, в исходное ДУПК подставляют функцию е^t и все ее производные. С математической точки зрения, постоянные коэффициенты при экспоненте «не мешают» при дифференцировании, оставаясь теми же, а все е^t сокращаются, приводя к алгебраическому уравнению. Корни последнего входят как постоянные коэффициенты в экспоненту и приводят ДУПК к требуемому тождеству. С физической же точки зрения, коэффициенты в волновом уравнении (и ему подобных) в форме ДУПК постоянны, потому что постоянны законы протекания процессов в однородном времени – пространстве. Для наблюдателя, находящегося в системе отсчёта, сдвинутой по времени или по координате относительно исходной системы отсчета, физический процесс должен описываться уравнениями того же вида, что и исходные уравнения, если время и пространство однородны. Но вместе с тем (после сдвига наблюдателя) в исходных уравнениях появятся сдвиги аргументов по времени (t + t₀) и координатам (х + х₀) Будет ли начальное уравнение равносильно уравнению со сдвинутыми аргументами? Да, будет при условии постоянства коэффициентов при функции и ее производных, входящих в ДУПК, описывающее процесс. Ведь именно они, состоя при экспоненциальной функции, дают верное решение, превращая уравнение в тождество. Вот почему число е играет столь важную роль в гармонических волновых процессах, описываемых законами естествознания!

Коснемся случая затухающей волны. Решение ДУПК, описывающее распространение гармонической волны в среде, если в ней происходит рассеяние энергии, будет, естественно, несколько сложнее, чем для волны без затухания. В показателе степени экспоненты вместо мнимого числа iβ, отражающего чисто волновой процесс, появляется комплексное число α +iβ, где действительное число α отрицательно и отражает затухание волны:

f(t) = e ^{(α +iβ)t} = e^αt (cos αt + i sin βt). Здесь формула Эйлера умножена на действительную переменную величину e^αt, которая играет роль убывающей амплитуды волны.

А теперь положим β = 0, то есть уничтожим колебательный множитель. От колебаний останется только затухающая по экспоненте интенсивность – «бывшая амплитуда». Для иллюстрации обоих случаев представим себе маятник. В пустом пространстве он колеблется без затухания. В пространстве с сопротивляющейся средой колебания происходят с амплитудой, убывающей по экспоненте. Если отклонить маятник в достаточно вязкой среде, то он будет плавно, без колебаний двигаться к положению равновесия, все более замедляясь. То же произойдет с грузом, прикрепленным к стенке достаточно слабой пружиной в весьма вязкой среде. После отклонения груз будет плавно двигаться к положению равновесия.

а) Незатухающая гармоническая волна с амплитудой А, частотой β и фазой φ₀, иллюстрирующая закон сохранения энергии, связанный с однородностью времени. Перенос системы координат вдоль оси t, не изменяющий энергетических характеристик волны (ее амплитуды и частоты), возможен в силу однородности времени. При переносе изменяется только фаза (неэнергетическая характеристика). Закон сохранения импульса, связанный с однородностью пространства, иллюстрируется такой же волной, если в ней временную координату (t) заменить на пространственную (х).

б) Затухающая волна в среде, в которой энергия волны рассеивается. Амплитуда волны убывает по экспоненте. В очень вязкой среде колебания прекращаются, остается только плавно убывающая амплитуда α (< 0) –коэффициент затухания.

Рассмотренный предельный частный случай «волны» с нулевой частотой, но с плавно изменяющейся (убывающей или возрастающей) по экспоненте «амплитудой», характеризует множество процессов в самых различных сферах неживой и живой природы: рост снежного кома, моллюска, финансовой пирамиды, остывание чайника, убывание памяти со временем, увеличение числа бактерий в организме, физиологическая зависимость ощущения от силы раздражения и т.д. Всеми этими разнородными явлениями «управляет» экспонента, или, иначе говоря число е, стоящее в основании показательной функции. Ибо все эти процессы подчиняются одному и тому же фундаментальному принципу: прирост величины пропорционален самой величине.

Универсальный психофизический закон

Остановимся подробнее на универсальном психофизическом законе Вебера-Фехнера, чрезвычайно важном для всего живого на Земле. (Густав Теодор Фехнер (1801-1887), немецкий физик; Эрнст Генрих Вебер (1795-1878), немецкий физиолог.) Закон гласит: «Сила ощущения пропорциональна логарифму силы раздражения». Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естественно, пока физиологические процессы не переходят резко в патологические, то есть пока рецепторы не подверглись видоизменению или разрушению). Из закона Вебера-Фехнера следует, что, во-первых, малому приросту сигнала раздражения в любом его интервале отвечает почти линейный прирост (с плюсом или минусом) силы ощущения и, во-вторых, в области слабых сигналов раздражения прирост силы ощущения гораздо круче, чем в области сильных сигналов.

Логарифмическая зависимость силы ощущения от силы раздражения (универсальный психофизический закон Вебера-Фехнера). За порог обнаружения сигнала принято давление звука р₀, едва ощущаемое человеком. На пороге слышимости (р = р₀) натуральный логарифм единицы

(ln 1) = 0.

Приведем такой пример. Чай с двумя кусками сахара воспринимается как в два раза более сладкий, чем чай с одним куском сахара; но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с десятью. Динамический диапазон биологических рецепторов колоссален: принимаемые глазом сигналы могут различаться в ~ 10¹⁰, а ухом – даже в 10¹¹ раз. Живая природа вынуждена была приспособиться к таким диапазонам. В процессе эволюции она защищалась, учась логарифмировать поступающие раздражители. Это делалось путем различных биологических способов демпфирования и диафрагмирования сигналов, иначе рецепторы сразу погибли бы.

Раковина моллюска растет по закону натуральной логарифмической спирали, который оптимален для организма. Она описывается уравнением r = ае^φ. В основании степени стоит число е. Здесь r есть радиус-вектор? φ – угол между ним и горизонтальным направлением вправо. Спираль пересекает радиусы-векторы под одним и тем же углом μ, почему и называется равноугольной. По аналогичной спирали расположены семечки в подсолнухе и чешуйки в шишках.

На законе Вебера-Фехнера основана широко применяемая логарифмическая шкала силы звука в децибелах (дБ), в соответствии с которой изготовляют регуляторы громкости аудиоаппаратуры: в них смещение рычага пропорционально ощущаемой громкости, но не силе звука! Ощущение пропорционально lg p/p₀. За порог слышимости принято давление звука р₀ = 10^-12 Дж/м²с. На пороге имеем lg1= 0. Увеличение силы (давления) звука в 10 раз соответствует примерно ощущению шепота, которое выше порога на 1 бел (Б) по логарифмической шкале. Усиление звука в миллион раз (от шепота до крика), до ~ 10^-5 Дж/м²с, по логарифмической шкале есть увеличение на 6 порядков, то есть на 6 Б.

Барабанная перепонка легко переносит подобный перепад давления именно благодаря тому, что ощу­щение реагирует на него гораздо слабее, чем при прямой пропорциональ­ной зависимости. Лога­рифмическая зависимость быстро ослабевает и пото­му менее опасна для ре­цепторов. Их разрушает лишь усиление звука в 10 млрд. раз.

Другой, не менее яркий пример. Шкала звездных величин определена так, что блеск звезды Е связан со звездной величиной m формулой

m = –2.5 lg E + const.

Эта формула – прямое следствие закона Вебера-Фехнера. Ощущение (звездная величина) пропорционально логарифму раздражения (в данном случае, лучевой энергии звезды). Поэтому разность в пять звездных величин соответствует различию в блеске звезды ровно в 100 раз. Экспоненциальный (по прямой функции) и логарифмический (по обратной функции) законы прироста величин оптимальны для развития многих организмов. Их действие можно наглядно проследить по образованию логарифмических спиралей в раковинах моллюсков, рядах семечек в подсолнухе, чешуек в шишках.

***

Фундаментальные константы нашего мира, о природе которых мы говорили, известны не только физикам, но и лирикам. Так, иррациональное число π, равное 3,14159265358979323846... вдохновило выдающегося польского поэта XX в. лауреата Нобелевской премии 1996 г. Виславу Шимборскую на создание стихотворения «Число Пи», начальными строками которого мы закончим эти заметки.

π – число, достойное восхищения:

Три запятая один четыре один.

Каждая цифра дает ощущение

начала – пять девять два, ведь до конца не дойти никогда.

Взглядом всех цифр не объять – шесть пять три пять.

Арифметических действий – восемь девять –

уже не хватает, и трудно поверить – семь девять –

что не отделаться – три два три восемь –

ни уравнением, которого нет,

ни шутливым сравнением – оных не счесть.

Двинемся дальше: четыре шесть...

(Пер. с польского Б. Горобца)

Существуют ли стихи о числе е, нам не известно.