Леонид Витальевич Канторович*

Леонид Витальевич Канторович принадлежит к числу великих ученых двадцатого века. И как почти все ученые подобного ранга он был фигурой легендарной. И я буду перемежать информацию о его личности и его научных достижениях некоторыми зачастую апокрифическими историями о нем самом.

Начну с такой. Леонид Витальевич принадлежал к редчайшему числу людей неслыханно раннего развития. Как-то он, семилетний мальчик, стал свидетелем подготовки его брата, учившегося в вузе, к экзамену по химии. Мальчик заинтересовался химией и прочитал учебник, по которому готовился брат. Вскоре выяснилось, что семилетний мальчик полностью усвоил курс химии и научился решать все задачи. А брат, который был на одиннадцать лет старше, испытывал затруднения в решении химических задач. Брат взял маленького мальчика на экзамен, как будто его не с кем было оставить дома. Мальчик остался в аудитории, ему дали карандаши и бумагу, чтобы он рисовал или писал что-то своё, детское, а на самом деле мальчик решал экзаменационные задачи для брата и его друзей.

Сын Леонида Витальевича — Всеволод Леонидович — рассказал мне еще и такую историю. Как-то к ним в школу пришел инспектор, и узнав, что в классе сидит сын Канторовича, спросил у мальчика, как у него обстоят дела с химией. Оказалось, что инспектор был соклассником Леонида Витальевича и помнил об интересе отца мальчика к химии в школьные годы. Сын мало знал об этих интересах своего отца, и, придя из школы, спросил Леонида Витальевича об этом. Тот подтвердил, что действительно очень увлекался химией и в возрасте десяти лет придумал радиоуглеродный метод датирования. Через несколько лет он узнал, что этот метод вошел в науку позже.

Канторович поступил в университет в 1926 году 14-ти лет. Он приступил к занятиям, впрочем, не в сентябре, а в ноябре. И вот почему.

Для того чтобы принять в Университет мальчика в столь юном возрасте, требовалось некое согласование. Подтверждение того, что он принят, мальчик не получил, и на занятия не ходил. И вдруг 6 ноября приходит открытка (с надписью «Вторично»), где сказано, что если он до 9 ноября 1926 года не пройдет «комиссию по платности», не заплатит за учебу и не приступит к занятиям, то это повлечет за собой «исключение из числа студентов Ун-та без права восстановления». И только тогда мальчик, выполнив нужное требование, приступил к занятиям в университете.

При рассказе о математическом творчестве Л. В. Канторовича я буду частично опираться на «предполагавшийся доклад в Московском математическом обществе». Этот текст Леонид Витальевич диктовал своему сыну, когда лежал в больнице, из которой он не вышел, и доклад остался недописанным, хотя часть задуманного, записанная сыном Леонида Витальевича, была опубликована в УМН, т. 42, вып. 2 за 1987 г. с. 183 - 213.

Л.В.Канторович

Доклад начинается так.

Члены общества хорошо знают труды московских математиков, [...] иногородних математиков они знают гораздо меньше. Поэтому моя цель — как бы представиться математическому обществу. [...] Прежде чем переходить к конкретному изложению, я хотел бы кое-что сказать о себе. Я не эрудит. [...] Должен признаться, что и моя память, и способность к восприятию нового ненамного выше среднего. Некоторые делят математиков на тех, кто обладает, по преимуществу, проникающей силой, и на математиков-концептуалистов. Я принадлежу ко второй категории.

Что касается первой «категории», то скромная самооценка, возможно, была вызвана тем, что, преодолевая интеллектуальные преграды, Леонид Витальевич не замечал их трудности.

Переход к изложению конкретных результатов, начну с воспоминания. Однажды я оказался рядом с Леонидом Витальевичем на одном собрании, и спросил у него, кого он относит к числу своих учителей. При ответе Леонид Витальевич проявил свойственную ему широту и щедрость. Он назвал четверых: Григория Михайловича Фихтенгольца, Андрея Николаевича Колмогорова, Сергея Натановича Бернштейна и Владимира Ивановича Смирнова.

Григорий Михайлович сыграл для юного Канторовича роль наставника, раскрывшего перед ним горизонты нашей науки и формы научной деятельности. Фихтенгольц открыл семинар по дескриптивной теории функций, который стал посещать второкурсник Леонид Канторович и где он выступал со своими первыми научными сообщениями. Особую роль на начальной стадии творчества Л. В. сыграл другой семинар Фихтенгольца, проходивший в 1928-29 гг., посвященный теории А-множеств. Среди участников семинара были Д. К. Фаддеев, И П. Натансон, С. Л. Соболев, С. Г. Михлин и др. Л. В. активно тогда сотрудничал со своим сокурсником Е. М. Ливенсоном.

Вот как сам Леонид Витальевич представляет в своем докладе теорию, ставшую темой семинара Фихтенгольца: "Известно, что в период примерно с 1915 по 1925 гг., исследования по аналитическим множествам (А-множествам или александровским множествам) открытым и изученным П. С. Александровым, М. Я. Суслиным и Н. Н. Лузиным, занимали центральное место в работе многих московских математиков (А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков и др.)".

Теме "Открытие А-множеств" я посвятил одну из своих статей в "Историко-математических исследованиях". Это очень болезненная тема. В своей статье я писал, что нужен гений масштаба Достоевского, чтобы раскрыть тайну взаимоотношений названных Леонидом Витальевичем П. С. Александрова, М. Я. Суслина, Н. Н. Лузина, А. Н. Колмогорова, П. С. Новикова <и др.>. Приоритетные и психологические обсуждения могут завести нас слишком далеко, и потому я на них здесь останавливаться не буду.

В итоге активного участия в семинаре по теории А-множеств цикл исследований Канторовича-Ливенсона был посвящён дальнейшей разработке этой теории. На работах этого цикла сказывалось воздействие Лузина, Хаусдорфа и Колмогорова. Тогда же состоялось знакомство Канторовича с Колмогоровым, и тот познакомил юношу со своими исследованиями, написанными также в самую раннюю пору его творчества, но остававшимися неопубликованными. (Девятнадцатилетний Колмогоров написал две статьи по дескриптивной теории множеств, которые передал своему учителю. Тот держал их в своем столе в течение нескольких лет, пока по требованию Д. Ф. Егорова не вернул их автору. Первая статья была напечатана в Матсборнике в 1928 году, а другая пролежала в архиве Колмогорова, была обнаружена незадолго до его смерти и лишь тогда опубликована). В тридцатые годы Колмогоров показывал её А. А. Ляпунову и Л. В. Канторовичу, но, как пишет Л. В. "Андрей Николаевич категорически запретил указывать время написания его рукописи". Контакты и беседы с А. Н. Колмогоровым, начавшиеся в двадцатые годы и продолжавшиеся на протяжении всей жизни, и послужили тому, что Канторович назвал Колмогорова одним из своих учителей.

Заканчивалось обучение в Университете (в его группе учились С. Л. Соболев, С. А. Христианович, С. Г. Михлин, Б. Б. Девисон, Г. А. Амбарцумян (сестра В. А. Амбарцумяна) и В. Н. Замятина (будущая жена Дмитрия Константиновича Фаддеева и мать Людвига Дмитриевича).

В аспирантские годы Канторович начинает преподавать в Строительном институте в первый год ассистентом, во второй доцентом, в третий профессором.

Когда он вошел в аудиторию, чтобы читать лекцию, его стащили с кафедры с криком: "Садись на место! Сейчас профессор придет!"

В 1932 году (двадцати лет) он был избран профессором кафедры Института Промышленного транспорта. В эти годы продолжается бурный период творчества.

Вдруг появляется цикл работ по тематике, навеянной творчеством С. Н. Бернштейна. Вот как он пишет о мотивах, побудивших его начать эти исследования.

...Запаздывал ученик на урок, и Л. В., листая Fundamenta, наткнулся на статью о полиномах Бернштейна, восхитился, и ему "сразу подумалось, а нельзя ли в этих полиномах заменить значения функций в отдельных точках на более устойчивые средние значения графика в соответствующих интервалах''. Оказалось, что этот процесс ведет к сходимости почти всюду для функций из L1 на отрезке.

И в других проблемах, навеянных творчеством Бернштейна, Л. В. идёт своим путём, проявляя большую самостоятельность. Он исследует сходимость полиномов Бернштейна в комплексной области, а также полиномов с целыми коэффициентами.

Это оказало воздействие и на самого Бернштейна: в 1943 году он печатает статью "О сходимости полиномов в комплексной области".

А. Н. Крылов печатает статью (1931) "О расчете балок, лежащих на упругом основании", и вскоре появляется реплика Л. В.: "Применение интеграла Стилтьеса к расчету балок, лежащих на упругом основании" (1934). Несомненно, влияние и на эту работу и вообще на идеологию обобщенных функций творчества Н. М. Гюнтера, который в те годы опубликовал огромный труд о применении интеграла Стилтьеса к фундаментальным проблемам математической физики.

Его творчество оказало большое влияние и на Л. В., и на С. Л. Соболева (В. И. Арнольд причисляет Гюнтера к основоположникам теории обобщенных функций).

И почти одновременно осуществляется переход Канторовича к вопросам, постановка которых была навеяна контактами с Владимиром Ивановичем Смирновым: вариационное исчисление (учебник на эту тему написан В. И. Смирновым, В. И. Крыловым и Л. В. Канторовичем в 1933 г.), построение конформных отображений (работа 1933 г., оказавшая влияние на Г. М. Голузина).

В 1936 году появляется знаменитая книга Л. В. Канторовича и В. И. Крылова "Методы приближенного решения дифференциальных уравнений", на кого только ни оказавшая влияние в сороковые годы.

Два результата Канторовича из прикладного анализа хочу отметить. Он получил явные оценки приближений решений уравнения Фредгольма второго рода системами конечномерных уравнений и распространил метод Ньютона на бесконечномерный случай. (Этот метод был, в частности, использован А. Н. Колмогоровым при построении КАМ-теории). По ходу дела Леонид Витальевич описал медленнее сходящийся, но гораздо более удобный с вычислительной точки зрения метод, иногда называемый модифицированным методом Ньютона-Канторовича. Оба результата легли в основу вычислений, которые проводились при осуществлении атомных и космических программ, и потому в сороковые годы Канторович уделяет особое внимание проблематике создания эффективных численных методов решения прикладных задач. Мне лично было бы очень интересно узнать о вкладе Канторовича в осуществление атомной программы, я слышал о том, что его роль была велика, но подробного текста об этом мне найти не удалось.

Эта поразительная всеядность напомнила мне Павла Самуиловича Урысона, который, развивая общую топологию, мимоходом решал экстремальные задачи геометрии, создавал теорию нелинейных уравнений, показывал, как возникают А-множества в теории аналитических функций, решил принципиальную задачу электростатики о «сливании электричества с острия» и многое другое. И так же, как Урысон находит свою тему — теорию размерности, так и Канторович находит на предвоенный период свое направление в функциональном анализе: он строит теорию упорядоченных векторных пространств.

В тридцатые годы три математика формировали идеологию функционального анализа: Банах (своим трудом "Théorie des opération linéare"), где векторные пространства оснащались метрикой, и были построены начала нормированных пространств (эта тема была продолжена Колмогоровым и фон Нейманом, где векторные пространства были оснащены топологией, что привело к теории топологических векторных пространств, на базе которых была достроена теория обобщенных функций). И еще надо назвать два имени: И. М. Гельфанда, который соединил полные нормированные (банаховы) пространства с алгеброй и в итоге была построена теория банаховых алгебр. Л. В. Канторович, соединил банаховы пространства с порядковыми структурами, в итоге чего была построена теория полуупорядоченных пространств (или К-пространств или векторных решеток). (Доклад Канторовича на эту тему заинтересовал Колмогорова — ему показалось интересным, что пространства функций ограниченной вариации относятся к числу полуупорядоченных пространств). В течение нескольких лет Л. В. со своими учениками построил развернутую теорию полуупорядоченных пространств.

Создание этой теории дважды (в 1937 и 1938 голу) было оценено первыми премиями на конкурсе научных работ: по всем специальностям в 1937 и по математике (вместе с А. Д. Александровым, Л. С. Понтрягиным и С. Л. Соболевым) в 1938 году.

Как мне не раз говорил С. С. Кутателадзе, Леонид Витальевич высказывал идею о том, что полуупорядоченные пространства во всем подобны вещественным числам. Это было подтверждено в семидесятые-восьмидесятые годы прошедшего века, когда были построены булевозначные модели вещественных чисел и появились промежуточные мощности множеств числовой прямой. Леонид Витальевич застал подтверждение своей интуиции: он представлял в ДАН работу Е. И. Гордона, где было доказано, что К-пространства можно с некоторой общей позиции рассматривать, как вещественные числа.

Мы подошли к научным направлениям, которые были очень высоко оценены научным миром. Я имею ввиду теорию линейного программировании и математическую экономику.

...В начале 1939 года к двадцатисемилетнему профессору Ленинградского университета обратились за консультацией сотрудники лаборатории фанерного треста. Они поставили перед собой вопрос о наиболее выгодном распределении материала между станками. Леонид Витальевич заинтересовался этой задачей. Он писал: Оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил большое число задач, имеющих аналогичный математический характер: наилучшее использование посевных площадей, выбор загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, использование сырья, распределение транспортных грузопотоков. ...Это настойчиво побудило меня к поиску эффективного метода их решения.

В том же, 1939 году, была опубликована небольшая брошюра Л. В. Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», в которой по сути дела было открыто новое научное направление в математике, где рассматривались задачи на минимум или максимум выпуклых (как правило, линейных) функций при ограничениях в виде линейных неравенств. Это направление, получившее название линейного программирования, оказало большое влияние на развитие теории и практики управления различными объектами, на создание нового раздела в теориях оптимизации численных методов выпуклой оптимизации (что вошло в предмет исследований, называвшийся "Исследованием операций") и на разработку математически оснований экономической науки. В работе 1939 года Леонид Витальевич впервые выразил на математическом языке постановку производственных задач оптимального планирования и экономического анализа этих задач, а также предположил методы их разрешения.

Теория линейного программирования ныне рассматривается, как глава выпуклого анализа, существенно базирующегося на двойственности выпуклых объектов. Двойственные переменные в задачах линейного программирования получили в трудах Л. В. Канторовича экономическую интерпретацию и стали называться объективно обусловленными оценками, теневыми ценами и др.

В суровом 1942 году, выполняя многочисленные работы по военной тематике, Леонид Витальевич начал разработку особого отдела бесконечномерного линейного программирования, называемого ныне теорией Монжа-Канторовича. Эта теория, истоки которой были заложены в 18 веке Г. Монжем, также базируется на принципе двойственности. В наши дни теория Монжа-Канторовича переживает период бурного развития. Достаточно сказать, что Сер дик Вилани, получивший филдсовскую медаль на последнем Математическом конгрессе, развивает теорию Канторовича.

Достижения Л. В. в экономике были увенчаны присуждением ему Нобелевской премии по экономике за 1975 год.

Двадцатый век был воистину жестоким веком. Но по отношению к Леониду Витальевичу он был во многом милостив. Ему посчастливилось родиться в одном из самых прекрасных городов мира и воспитываться в высококультурной и интеллигентной среде. Его выдающаяся одаренность была своевременно замечена и оценена, и он в самые ранние годы попал в атмосферу Ленинградского университета, в котором были живы традиции петербургской математической школы, исходившие от Чебышёва и его последователей, и где работали люди высокого нравственного ценза, такие как Владимир Иванович Смирнов и Григорий Михайлович Фихтенгольц. На протяжении первых лет своего творчества Леонид Витальевич ощущал всестороннюю поддержку и одобрение, причем не только коллег: мне довелось как-то видеть календарь за 1940 год, где среди портретов передовиков производства был портрет Леонида Канторовича, про которого там сказано, что он относится к числу «самых талантливых учёных Ленинградского университета».

В одном из писем 1942 года к Павлу Сергеевичу Александрову А. Н. Колмогоров так описывает эволюцию творчества многих своих коллег: «После первых 10-15-20 лет, когда молодой математик занимается стихийно тем, что попадает ему под руку, большинство серьезных математиков начинает стремиться к тому, чтобы очертить себе достаточно узкий круг интересов и сосредоточить свои усилия на такой области, где они чувствовали себя полными хозяевами в смысле полного владения всем, что в данной области известно, а по возможности и не имели бы равных по силе конкурентов».

В числе таковых «серьезных математиков» в письме названы Александров, Курош, Хаусдорф и Каратеодори, - славные и достойные имена. Упоминая в своем списке своего друга и немецких математиков, оказавших большое влияние на его собственное творчество, Колмогоров признает их позицию «вполне достойной».

Но его, Колмогорова, влечет к себе «другая позиция», а именно: «браться за все то, что с чисто субъективной точки зрения кажется наиболее существенным и интересным в математике вообще». Среди своих современников и соотечественников в очень скромном перечне тех, кого влекла к себе «другая позиция», названа фамилия Канторовича.

Суровые испытания для Канторовича начались тогда, когда Леонид Витальевич осознал возможности математики в разрешении многих актуальных проблем экономики. Это было в начале сороковых годов, и потом эти испытания продолжались долгие годы. Но все это было преодолено.

Влияние Канторовича испытали на себе все, кто занимался математическим анализом в широком смысле этого слова, и кроме того, Леониду Витальевичу довелось создать блистательную школу по экономике.

Мне довелось впервые увидеть Леонида Витальевича Канторовича в 1957 году, когда на ноябрьские праздники Андрей Николаевич Колмогоров взял меня в Ленинград для встреч с ленинградскими математиками с рассказами о нашей работе, посвящённой е-энтропии.

Вечером — после лекции Андрея Николаевича — состоялся приём у Юрия Владимировича Линника. На нём собралось много ленинградских математиков, среди них был и Леонид Витальевич Канторович. Разговор шёл о разном и, разумеется, о кибернетике. Мне запомнились слова Леонида Витальевича о том, что машину нетрудно будет обучить делать разные сложные вещи по готовой программе, но нелегко выработать у неё «свободу воли», способность ставить перед собой незапрограммированные задания. Эти слова прозвучали очень веско: чувствовалось, что Л. В. глубоко вошёл уже в тот мир, который мы сейчас зовём компьютерным (тогда этого слова ещё не было). А у остальных об этом мире были только довольно отдалённые впечатления.

Нового знакомства не потребовалось: при встречах Леонид Витальевич дружески приветствовал меня, как человека хорошо ему известного. Мне посчастливилось несколько раз встречаться и разговаривать с Леонидом Витальевичем, и он раскрылся передо мной, как человек необычайной душевности и привлекательности. Ему было свойственно очень тонкое чувство юмора.

Мне рассказывали, что по разным «персональным» причинам, некоторое время в Академгородке в Новосибирске не было полноценного медицинского обслуживания, а была только патолого-анатомическая лаборатория. За лечением надо было ездить в Новосибирск. Как-то выступая на каком-то представительном собрании, Леонид Витальевич сказал, что было бы хорошо если бы можно было бы получить медицинскую помощь на более ранней стадии болезни.

Но при всей своей мягкости и доброжелательности, Леонид Витальевич был бесстрашным часовым на рубеже истины. Примеров тому необычайно много.

Мне же остается только сказать, что я часто вспоминаю светлый облик Леонида Витальевича и благодарю судьбу, за то, что она дала мне возможность общаться с ним.

 * Статья из тома Историко-математических исследований. Вторая серия. Выпуск 15 (50), <<Янус-К>> Москва 2014.