Номер 5(74)  май 2016 года
mobile >>>
Марк Цайгер

Марк Цайгер Об одном из видов упаковок шаров

Каждое новое открытие, сделанное из чистого любопытства,
давало впоследствии людям неисчислимые блага в виде новых механизмов,

материалов, устройств и технологий. Нередко такие открытия

казались людям ненужной тратой денег и сил, чудачеством и более ничем.

Марк Зальцберг, профессор Хьюстонского университета, шт. Техас, США

Упаковки шаров – какие ассоциации у вас, дорогой читатель, возникают? У меня сразу возникает прилавок на рынке, на котором громоздятся пирамиды яблок, помидоров и других шарообразных продуктов, для красоты и аппетитности они все подобраны по размеру и аккуратно выстроены.

Когда ваш покорный слуга учился в нефтяном институте, мы изучали разные упаковки шаров, так как они позволяли представить структуру тех пород, в которых могла находиться нефть. И, конечно, уделяли внимание правильным упаковкам. Что такое правильный? Когда мы говорим «правильный треугольник», то как-то все понимают, что у этого треугольника все стороны одинаковые. Так и правильная упаковка шаров – значит такая, когда все шары одинакового размера и одинаково расположены по отношению друг к другу. Конечно, может быть ситуация с шарами одинакового размера, когда они расположены «случайно» друг к другу (в жизни это бывает чаще всего), но это неправильная упаковка. Правильная упаковка – это модель, образец для подражания (какие бы ещё слова сказать?). И для правильной упаковки мы всегда можем указать число контактов данного шара с окружающими, так называемое координационное число. Для пирамид, которые мы видим на базаре, можно сказать, что каждый шар окружён 12 шарами. Координационное число равно 12. Есть такая правильная упаковка, даже две её разновидности (она называется гексагональной). А когда число шаров 11 или 10 – могут ли быть такие правильные упаковки? Нет. Упаковки такие могут быть, но они – неправильные. А какая же следующая правильная? С координационным числом 6. Представьте себе куб, в вершинах которого шары, каждый шар контактирует с шестью окружающими шарами. Такая правильная упаковка называется кубической.

А может ли быть правильная упаковка с меньшим координационным числом? Может, с координационным числом 4. И она очень часто, даже очень, очень часто встречается в природе. В молекулярной структуре веществ. Вот алмаз – его атомы расположены именно в такой упаковке. Кристаллическая решётка углерода в алмазе или кремния в силикатах или структуры разных минералов – в них очень часто используется упаковка шаров с координационным числом 4 (рис. 1).

Рис 1. Кристаллическая решётка кремния (кубическая, гранецентрированная). Единичная ячейка. На этом рисунке шары показаны уменьшенного размера (на самом деле они больше и касаются друг друга), но зато хорошо видно расположение шаров по отношению друг к другу

Кристаллографы в начале XX века заинтересовались этой упаковкой. А за ними и математики – Давид Гильберт и Стефан Кон-Фоссен описали её в своей книге «Наглядная геометрия» (немецкое издание вышло в 1932 г, русский перевод – в 1936 г.). Эти авторы назвали её тетраэдрической, т. к. шары образуют тетраэдр (правильную треугольную пирамиду – один шар в центре, а четыре – в вершинах пирамиды). Но как-то так получилось, что после первого внимания никому больше эта упаковка оказалась не нужна: Мартин Гарднер отмечал в 1983 г, что после Гильберта и Кон-Фоссена не появилось работ, связанных с этой упаковкой. Добавлю, что не изучали её ни в средней школе, ни в высшей. Но она привлекла внимание автора.

Первый вопрос, возникающий в подобных случаях – а кому это может быть нужно, если до сих пор никому не потребовалось? Но ведь, логически рассуждая, если до сегодня не потребовалось, это не значит, что не потребуется и завтра. А что мы знаем об этой упаковке? Почти ничего. Ну, пористость её (долю пространства, не занятого самими шарами) вычислили Гильберт и Кон-Фоссен, она оказался равной ~0.660. И практически на этом всё? Как выглядит эта упаковка, какие гидравлические сопротивления она может представить? На всё это не было ответа. И первое, с чего начал автор – это попытаться представить, как выглядит эта упаковка в объёме, превышающем единичную ячейку. В наше компьютерное время самое лёгкое, что можно сделать – это изобразить желаемое на экране с помощью компьютера. Вместе с Л. Балуашвили мы попытались изобразить упаковку в блоке, составлявшем по две единичных ячейки по высоте, длине и ширине. И получили результат, который огорошил нас.

Оказалось, что вид этой упаковки зависит от того, как смотреть. Вот смотришь на блок прямо – шары заслоняют друг друга, ничего не видно. А повернули на какой-то небольшой угол – и между шарами обнаружились проходы и, если просветить блок шаров под этим направлением, то свет спокойно пройдёт насквозь, и на экране за блоком мы увидим зайчики света. И не сразу приходит в голову, как это назвать. А ведь слово такое есть – анизотропность. Значит, свойства в одних направлениях существенно отличаются от свойств в других направлениях. Это слово часто применяют к горным породам. Но чтобы кристаллическая решётка отличилась этим свойством?

Как только слово произнесено или написано, оно мгновенно порождает кучу вопросов. И первый вопрос – сколько таких направлений?

Ничего не поделаешь, надо посмотреть книгу Гильберта и Кон-Фоссена, что они сказали по этому поводу. Книгу написал Гильберт, а чертежи-иллюстрации к ней – Кон-Фоссен и, надо сказать, прекрасные чертежи, выполненные в центральной перспективе (так видит глаз и фотокамера и так понятнее).

На рис. 2 показана система точек, соединяющих центры шаров в правильной тетраэдрической упаковке. Центры соседних шаров соединены прямыми линиями.

Рис. 2. Система точек, соединяющих центры шаров в тетраэдрической упаковке

(Черт. 52 из книги Гильберта и Кон-Фоссена.

Здесь и далее цитируется по русскому переводу 1936 г.)

Мы видим, что направлений, соединяющих центры шаров упаковки всего четыре. А если теперь вернёмся к рис. 1, то увидим, что эти четыре направления параллельны четырём диагоналям куба единичной ячейки этой упаковки.

Взгляните теперь на другой чертёж Кон-Фоссена, показывающий эту же тетраэдрическую упаковку (Рис. 3).

Рис. 3. Система точек, определяющая центры шаров в правильной тетраэдрической упаковке (Черт. 51 из книги Гильберта и Кон-Фоссена)

Мы видим, что точечная структура центров шаров упаковки образует шестигранные призмы, которые идут перпендикулярно чертежу. Именно проявление этих призм в виде сквозных проходов мы с Л. Балуашвили увидели, рассматривая компьютерную модель упаковки шаров. На рис. 3 видно, что плоскость, перпендикулярная направлению протяжённости шестигранных призм, определяется вертикальным направлением отрезков, соединяющих центры шаров, и одним из трёх оставшихся невертикальных направлений этих отрезков.

И мы получаем ответ на вопрос, появившийся выше. Поскольку направления отрезков, соединяющих центры шаров упаковки, соответствуют диагоналям куба единичной ячейки, и число плоскостей, включающих по две диагонали куба, равно шести (число перестановок из 4 по 2), то количество направлений с просветами через всю упаковку тоже должно быть равно шести. Это направления, соединяющие центры противоположных рёбер элементарной ячейки. Т. е. когда мы смотрим на упаковку в направлении одной из координатных осей куба элементарной ячейки, то шары повсюду заслоняют друг друга. Но стоит повернуть блок упаковки относительно вертикальной оси на угол 45°, и мы попадаем на просвечиваемое направление. Доворот на следующие 45º и мы снова на направлении, где все шары заслоняют друг друга.

Таким образом, мы видим, что анизотропия рассматриваемой упаковки шаров имеет шесть направлений максимальной просвечиваемости и три направления минимальной просвечиваемости (это направления координатных осей элементарной ячейки). Иными словами, если измерить гидравлические сопротивления упаковки, то в направлениях максимальной просвечиваемости получим одни значения, а в направлениях минимальной просвечиваемости гидравлические сопротивления будут намного больше. И никто до сих пор эти измерения не сделал и не пытался сделать. Кто первый сделает, тот будет Первым.

Итак, мы видим, что оказался почти не изученным один из видов правильной упаковки шаров, а именно тетраэдрическая упаковка. А ведь эта упаковка как модель может быть использована и при изучении процессов в кипящем слое (например, при крекинге нефти), при изучении поведения зыбучих песков. А изучение акустических свойств может дать свои новые результаты. Можно назвать и совершенно отдалённые области человеческой практики, где эти новые знания потребуются, например, архитектуру. Все помнят дома-книжки на Новоарбатском проспекте в Москве. Такие дома при шквальных ветрах создают большие нагрузки на фундамент. А если построить дома по схеме правильной тетраэдрической упаковки шаров, то такие дома окажутся хорошо продуваемыми во многих направлениях, и это может создать определенный экономический и иной эффект.


К началу страницы К оглавлению номера
Всего понравилось:4
Всего посещений: 305




Convert this page - http://7iskusstv.com/2016/Nomer5/Cajger1.php - to PDF file

Комментарии:

Физисист
- at 2017-01-20 11:43:23 EDT
Значит нам автор публикации в Википедии втюхивает туфту, а мы её глотаем, не задумываясь.
------------
Нет, это не туфта, а наглядная модель, а всякая модель условна (скелетные модели более условны, объёмные - менее). Думаю, те вопросы, которые Вас интересуют, не относятся к нерешённым научным проблемам. Обратитесь к специалистам-кристаллографам и Вы получите исчерпывающие ответы.

Марк Цайгер
Беэр-Шева, Израиль - at 2017-01-20 10:07:47 EDT
Ответ 2 Физисисту
Уважаемый Физисист, мы все, и Вы, и я и многие другие, стали жертвами некоторых условностей, принятых кристаллографами сотню лет тому назад. Отцы кристаллографии Фёдоров, Бокий и многие другие рисовали модели структур, в которых было важно показать взаимное расположение шаров так, чтобы это было понятно читателю. И негласно приняли правило рисовать на этих моделях шары уменьшенного диаметра. Просто маленькими шариками принялись обозначать центры шаров, т.к. если рисовать шары в полном размере, то они заслонят друг друга и не удастся показать главное – как расположены шары по отношению друг к другу. Вот возьмём в качестве примера тетраэдрическую упаковку шаров. На приводимой Вами странице Википедии (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%B7) показана схема элементарной ячейки структуры алмаза. Шарики показаны уменьшенного диаметра. И все как бы понимают это. Однако, на самом деле не все понимают, что шары должны быть такого диаметра, чтобы касаться друг друга. Как пример того, что не все понимают, приведу движущуюся картинку, показанную рядом слева. Автор этой публикации искренне думал, что он показал в этой движущейся структуре шары полного размера. Однако, мы ясно видим на картинке, что шары соединены стержнями. Между двумя соседними шарами можно поместить ещё один шар. Т.е. шары показаны ВДВОЕ МЕНЬШЕГО ДИАМЕТРА, чем на самом деле. Именно такое задание дал автор публикации программисту, написавшему программу этой движущейся картинки. И то, что мы видим, говоря словами песни, «хоть похоже на Россию, только всё же не Россия». Т.е. это совсем не та картинка, которая была бы, если бы шары были отрисованы правильного диаметра. Я видел эту правильную картинку, мы с Лёней Балуашвили создали её в Автокаде. И там просветы между шарами тоже были, но меньшего размера. И первый вопрос у меня тогда возник: а пройдёт ли шар через такой просвет? Возможно, пройдёт, но для этого надо сделать натурную модель и бросить в неё шар. Я не могу этого сделать. Поэтому для меня вопрос не решён.
Первоначально, получив Вашу ссылку, я посмотрел её, увидел что-то похожее на то, что видел раньше, и успокоился. А недавно снова вернулся к этой движущейся картинке и рассмотрел её внимательнее. Попробовал подсчитать, сколько раз появляются большие дыры. За полный оборот на 360° - четыре раза. Правильно! Но я увидел, что появляются просветы и меньшего размера. А вот этого я раньше не видел. В чём дело? Полночи не мог заснуть, в голове вертелась эта картинка. И потом мелькнула мысль – а ведь отдельные шары показаны как бы на палочках. «..и эти палочки, трагедии знаменье», как писал Карел Чапек в переводе Т. Аксель и О. Молочковского. Полез в компьютер – точно, вот они. Значит нам автор публикации в Википедии втюхивает туфту, а мы её глотаем, не задумываясь.
С чем Вас и поздравляю, уважаемый Физисист.
Марк Цайгер, m_tsayger@hotmail.com

Марк Цайгер
Беэр Шева, Израиль - at 2016-05-30 09:15:42 EDT
Оказалось, что регистрация открытий раньше существовала в России, но в мире не прижилась, и сейчас открытия никто не регистрирует – повидимому, в этом нет экономической необходимости. Но меня удивляет отсутствие откликов другого рода – почему никто не думает о том, как использовать полученную информацию для себя. Ведь на основе обнаруженного явления можно создать изобретения, несколько изобретений, которые можно защитить патентами, мне уже пришли в голову.
Бормащенко
Ариэль, Израиль - at 2016-05-20 10:57:35 EDT
Глубокоуважаемый Марк, представленная Вами упаковка бесспорно интересна. Я, представьте, очень люблю и ценю книгу Гильберта и Кон-Фоссена, а упаковку эту прозевал по грехам своим (хотя прямо сейчас занимаюсь плотными упаковками:
http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/acs.langmuir.6b00636 ).Я только не убежден в том, что гидравлическая анизотропия наиболее интересна. Почему именно гидравлическая? Быть может электрическая или магнитная более интересны. Вы только не думайте, что я давлю Вам на психику. Правильная расстановка акцентов не менее важна, чем содержание работы. Шабат Шалом, дорогой Марк. Сердечно, Эд. Бормашенко

Марк Цайгер
Беэр-Шева, Израиль - at 2016-05-20 09:42:47 EDT
Ответ Бормашенко
Уважаемый Эдуард Юрьевич, благодарю Вас за комментарий. Он демонстрирует Вашу эрудированность. Вы абсолютно правы об анизотропности кристаллических решёток. Анизотропность – понятие широкое и для каждого конкретного случая она может быть иной. В том источнике, которым я пользовался, рассмотрена именно та упаковка шаров, о которой идёт речь, и внимательное исследование написанного позволило мне прийти к выводам, о которых прямо не сказано в этой исходной работе. Эти выводы (о направлениях минимальных и максимальных гидравлических сопротивлений упаковки) открывают путь к дальнейшему изучению этой упаковки, т.к. любой исследователь может выстроить эту упаковку, направить поток в нужном направлении и получить конкретные результаты, даже в безразмерной форме.
Вот когда появится некий г-н NN, который сообщит, что в такой-то работе, опубликованной тогда-то и там-то, повторяются выводы моей настоящей статьи, и они получены тем же или иным путём, либо там сказано, что один из моих выводов неверен и, следовательно, неверно всё остальное, тогда будет предмет для дискуссии.
Благодарю Вас за интерес к этой упаковке.

Марк
Беэр-Шева, Израиль - at 2016-05-20 09:37:46 EDT
Ответ Физисисту
Уважаемый Физисист, благодарю Вас за комментарий. Не могу согласиться с тем, что движущаяся картинка делает всё ясным. Не проясняет она, сколько направлений просвечиваемости имеется и как они проходят. Ваш комментарий не подтверждает или не возражает в чём-то высказанному в статье. Спасибо за проявленный интерес к теме.

Бормашенко
Ариэль, Израиль - at 2016-05-18 18:04:04 EDT
Дорогой Марк, любая кристаллическая решетка - анизотропна, будь-то простая кубическая, объемноцентрированная или гранецентрированная. Свойста решетки определенные по диагонали решетки или вдоль ребра будут различными.
Причем все свойства - механические, электрические и пр. Это приводит к появлению тензора упругих констант (модулей Юнга), тензора диэлектрических проницаемостей и пр. Все это прекрасно разобрано в курсе Фейнмана, т. 7 русского издания "Физика сплошных сред". Так что ничего удивительного в анизотропии Вашей решетки (самой по себе интресной) - нет.
Сердечно, Эд. Бормашенко

Физисист
- at 2016-05-18 16:07:15 EDT
Посмотрите в ВИКИ - решётка алмаза. Слева движущаяся картинка, и там всё ясно:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%BC%D0%B0%D0%B7

Марк Цайгер
Беэр-Шева, Израиль - at 2016-05-18 15:49:40 EDT
Эксгумировать эти материалы удалось только в 2015 году: по совету проф. Э.Бормашенко я направил текст в научный интернет-журнал arXiv.org. Но и там не обошлось без приключений: хотя интернет-журнал arXiv.org считается журналом, публикующим без редактирования, в нём была группа модераторов, которые следят за качеством публикуемых материалов. И эти модераторы увидели ролик, смысл которого был им непонятен. Я предполагаю, что между ними разгорелся спор – одни говорили, что публиковать в таком виде нельзя, другие – считали, что можно. В конечном счёте статью опубликовали в августе 2015 г (статья подана в декабре 2014 г). Конечно, я понимал, чем вызывана задержка публикации модераторами, и сам пытался разобраться, в чём причина той картины, которую мы наблюдали в ролике. И разобрался: причина – в особом свойстве упаковки – в её анизотропии. Разобрался в направлениях анизотропии, о чём было сказано выше.
Не буду задерживать внимание читателя на других приключениях публикации работы. Сейчас перед нами стоит задача оформить заявку на научное открытие в Израиле. И будем надеяться, что потенциальным открытием заинтересуются венчурные фонды и другие организации, способствующие развитию науки.

Марк Цайгер
Беэр-Шева, Израиль - at 2016-05-18 15:46:25 EDT
В известной правильной тетраэдрической упаковке шаров с координационным числом 4 мы, Марк Цайгер, к.т.н. и Леонид Балуашвили, инженер, обнаружили ранее неизвестную особенность, а именно, анизотропию физических свойств. Если посмотреть на нашу работу, как на объект интеллектуальной собственности, то этот объект можно классифицировать, как научное открытие. Действительно, согласно принятому научному определению, “научное открытие“ означает установление явлений, свойств или законов материального мира, ра¬нее не установленных и доступных проверке (Женевский договор о международной регистрации научных открытий). Конечно, ни о каком научном открытии мы не думали, просто было любопытно посмотреть на эту упаковку так, как ещё никто не видел, а именно взять блок из восьми единичных ячеек.
Я послал статью на международную конференцию (DEM6), и её приняли в состав расширенных рефератов. И была возможность сделать в дополнение к основному сообщению т.н. стендовый доклад. Прихожу я к Леониду и вдруг он предлагает – давайте сделаем компьютерную модель (а он – специалист по программам AutoCad, знает какие и как можно использовать). Я ему вычислил координаты центров шаров, и он построил модель так, что её можно было посмотреть с разных сторон. Мы посмотрели, записали соответствующий видеоролик и оформили его в формате PowerPoint2010, как требовалось по стандартам конференции, и послали на конференцию 2013 года. Всё прошло хорошо, даже несмотря на то, что на саму конференцию я не поехал по ряду причин. Одно оказалось плохо: труды конференции опубликовали в облачном хранении, чем это грозит, я понял только через год, когда увидел, что найти мой расширенный реферат в интернете невозможно – поисковые машины не способны вести поиск в облачном хранении. Т.е. получилось, что и реферат и видеоролик оказались похороненными в облачном хранении международной конференции.

_Ðåêëàìà_




Яндекс цитирования


//