Сергей Ландо. Владимир Игоревич Арнольд

Ньютон, Эйлер, Гаусс, Пуанкаре, Колмогоров – всего

пять жизней отделяют нас от истоков нашей науки.

13 июня 2012 г. на факультете математики Высшей школы экономики состоялся День Арнольда, посвященный имевшему место накануне 75-летию со дня рождения великого математика Владимира Игоревича Арнольда. Лекцию «Однородная динамика и теория чисел» студентам и всем заинтересованным математикам прочитал лауреат медали Филдса 1978 года Григорий Маргулис, затем в течение 3-х часов воспоминаниями о Владимире Игоревиче делились его друзья и ученики. День Арнольда предполагается сделать ежегодным, и организаторы будут рады видеть среди его участников всех желающих.

Владимир Игоревич Арнольд не дожил до своего 75-летия двух лет. В последние годы жизни он находился под регулярным медицинским наблюдением, и ничто не позволяло предсказать его скоротечную смерть от перитонита в одной из парижских клиник вскоре после очередного обследования. Его тело было перевезено в Москву и захоронено на Новодевичьем кладбище рядом с могилой его друга Нобелевского лауреата Виталия Лазаревича Гинзбурга. Сегодня имя Владимира Игоревича Арнольда удлиняет на одно звено цепочку великих имен, перечисленных в эпиграфе.

Смерть В. И. Арнольда вызвала множество откликов по всему миру – как от официальных объединений математиков, так и от друзей, учеников, коллег [1]. Значительная часть двух номеров Notices of the American Mathematical Society [2, 3] посвящена воспоминаниям о Владимире Игоревиче, собранным С. Табачниковым и Б. Хесиным. Все крупнейшие информационные агентства России и мира опубликовали известия о его кончине, сопроводив их биографией Арнольда и перечислением важнейших его достижений.

Цель настоящей статьи – дать читателю, не имевшему возможности общаться с Владимиром Игоревичем, представление о глубине и силе его личности, о его взглядах на математику и обучение ей, о проложенном им в математике пути.

1. О направлениях развития науки, которые он определял

не знаю... Делить математику на области – это

писатель, и драматург ли Шекспир или же поэт.

За свою жизнь В. И. Арнольд оказал влияние на самые разные математические теории, породив некоторые из них и определив пути их развития. Перечислим вкратце направления математики, в которые Владимир Игоревич внес основополагающий вклад, и упомянем, в чем этот вклад состоял. Приводимый ниже список его достижений ни в коей мере не претендует на полноту. Напротив, он призван лишь продемонстрировать глубину разноплановых результатов Арнольда, из которых складывается весьма цельная картина всей современной математики.

Доказательство теоремы о представимости любой непрерывной функции композицией конечного числа непрерывных функций не более чем двух переменных – тем самым было получено решение 13-й проблемы Гильберта в одной из возможных её интерпретаций (1956).

Теория возмущений гамильтоновых систем – доказательство теоремы о сохранении в аналитическом случае некоторых инвариантных торов гамильтоновой системы при малом её возмущении (1963). Совокупность идей, методов и результатов, выросших из работ Колмогорова, Арнольда и Мозера по этой тематике, получила название КАМ-теории.

Применение топологических методов в гидродинамике (1966).

Вычисление когомологий группы кос (1969), давшее толчок к построению теории конфигураций плоскостей (arrangements).

Теория особенностей (с конца 1960-х годов) – изменение принципов классификации особенностей, которое позволило революционизировать методы классификации и создать богатую теорию с многочисленными приложениями.

Топология вещественных алгебраических многообразий – Арнольду принадлежит одно из первых применений комплексной техники для изучения топологии вещественных алгебраических многообразий (1971).

Критическое переосмысление понятия интегрируемости динамической системы – теперь её называют интегрируемостью по Арнольду–Лиувиллю.

Построение нормальной формы для общих семейств матриц (1971) – глубокое многомерное обобщение понятия жордановой формы матрицы.

Идея построения симплектической топологии (с начала 1980-х годов) – одного из источников квантовых когомологий.

Сам Владимир Игоревич не слишком высоко ставил свое участие в решении 13-й проблемы Гильберта и развитии КАМ-теории. Он полагал, что основные продвижения в проблеме Гильберта о представлении функции в виде композиции функций от меньшего числа переменных и в теории КАМ получены его учителем А. Н. Колмогоровым, а его собственный вклад состоит лишь в уточнении и подробной записи результатов Колмогорова. Так, скажем, статья 1963 г. в «Успехах математических наук» носит название «Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодического движения при малом возмущении гамильтониана».

Среди математиков часто выделяют класс «решателей задач» – людей, основным занятием которых является решение поставленных другими задач, как правило, трудных, годами не поддающихся усилиям многочисленных исследователей. В эту категорию нередко попадают победители олимпиад, становящиеся решателями ещё в школьные годы. К кругу победителей олимпиад принадлежал и Арнольд, и в своих первых работах он, безусловно, предстает «решателем». Однако в 1960 годы стиль его работы резко меняется. Я бы сказал, что с этого момента он становится «понимателем», направляя весь свой потенциал на понимание с помощью математических методов устройства мира в интересных ему областях. Более того, он сознательно отстранялся от тех «полян», на которых «топчется» слишком много народа, предпочитая исследовать пустынные или давно опустевшие области, а его энциклопедические знания предоставляли ему на выбор широкий спектр результатов и усилий классиков, не нашедших достойного продолжения.

Уже на середину 60-х годов приходятся его многообразные открытия, ставшие зародышами нескольких весьма далеких друг от друга теорий. Владимир Игоревич закладывал основы этих теорий и определял направление их развития. Однако когда общее направление приобретало ясное очертание, когда основные, на его взгляд, задачи были сформулированы, он отходил в сторону, вкладывая не слишком много сил в дальнейшее развитие и оставляя разработку деталей своим ученикам, которые во множестве тянулись к нему, зачастую не привязанные никакими формальными узами.

Есть, пожалуй, лишь одна область, в которой Арнольдом и его школой – при активном участии многих других исследователей как в Советском Союзе, так и за рубежом – не только были заложены основы, но и теория целиком была проработана в самых многообразных и богатых проявлениях. Речь идет, разумеется, о теории особенностей, называемой в некоторых западных публикациях – не в последнюю очередь в рекламных целях – теорией катастроф. Построение этой теории заняло несколько десятилетий, и её нельзя считать завершенной и сейчас. Остановимся на ней подробнее.

Теория особенностей – это грандиозное обобщение

исследования функций на максимум и минимум.

К задаче исследования особенностей гладких отображений В.И. Арнольд пришел в ходе поездки во Францию в 1965 году. Из французских ученых наиболее глубокое впечатление на него произвел Рене Том, который как раз в то время в свойственном ему неформальном стиле разрабатывал общие подходы к изучению функциональных пространств.

В основе теории особенностей лежит привычное всем со школы исследование функций на максимум и минимум. В точках локального максимума или локального минимума производная гладкой функции обращается в нуль. Критические точки функции, т. е. точки, в которых её производная обращается в 0, и есть её особенности. В окрестности простейшего экстремума x₀ после подходящей замены координаты всякая гладкая функция одной переменной приводится к виду f (x) = f (x₀) + a (x − x₀)² , a = 0, причем экстремум является локальным минимумом при a > 0 и локальным максимумом при a < 0. Ключевое соображение, позволяющее исследовать функции, состоит в том, что знание всех экстремумов гладкой функции качественно определяет её поведение и в промежутках между экстремумами. Ясно, что это лишь первый шаг, но именно он и дает толчок к построению теории.

Первое, и наиболее естественное, направление развития – выяснение того, какие в принципе особенности могут быть у функции. На этом пути в игру вступает топология функциональных пространств. Дело в том, что любая гладкая функция при малом шевелении параметров становится функцией лишь с простейшими особенностями (проще всего это увидеть на многочленах – небольшим изменением коэффициентов многочлена можно добиться, чтобы все его особенности стали простейшими максимумами и минимумами). Основной принцип теории особенностей состоит в том, что изучению следует подвергать лишь те особенности, которые не пропадают при малом шевелении. В частности, сложные особенности функции нельзя устранить малым шевелением, лишь если объектом нашего изучения являются не отдельные функции, а семейства функций. Так, если мы рассматриваем однопараметрическое семейство многочленов f (x) = x³ + bx при малых значениях параметра b, то при любом возмущении этого семейства в нем будет присутствовать функция вида f (x) = x³ + c, особенность которой в нуле уже не является простейшей.

Все особенности функций одной переменной, которые неустранимым образом возникают в конечнопараметрических семействах, несложно перечислить: они имеют вид f (x) = f (x₀)+ ax^m для m = 2, 3, 4… Однако для функций двух и более переменных ситуация оказывается далеко не столь простой. Значительным достижением в начале 1960-х годов считалось обнаружение 7 элементарных катастроф – типов особенностей, возникающих неустранимым образом в семействах гладких вещественных функций, зависящих от не более чем 4 параметров. Все эти 7 типов особенностей реализуются уже для функций двух переменных (см. таблицу и рисунок, на котором изображены каустики – геометрические образы, отвечающие элементарным катастрофам). Именно здесь делает Арнольд одно из наиболее фундаментальных своих открытий.

Суть этого открытия состоит в том, что он принципиальным образом меняет схему классификации особенностей, отказавшись от постепенного увеличения количества параметров в семействах. Вместо этого он вводит абсолютно новое понятие модальности особенности – количества параметров, необходимых для описания всех особенностей, неизбежно возникающих при деформации данной. Так, особенность 0-модальна, если при её достаточно малой деформации могут встретиться особенности лишь конечного числа различных типов, 1-модальна, если пространство типов таких особенностей одномерно, и т. д. Выполненная им сразу же классификация типов 0-модальных особенностей (которые он называет простыми и которые включают все 7 элементарных катастроф) позволяет отождествить их с особенностями дю Валя и напрямую связать с простыми алгебрами Ли типов A_m, D_m, E₆, E₇, E₈. В результате теория особенностей из одной из периферийных ветвей анализа превращается в центральную область математики, связывающую между собой алгебру, теорию представлений, алгебраическую геометрию и анализ. В дальнейшем её развитии всё большую роль начинают играть геометрия и топология.

Описание всего, что происходило с теорией особенностей в последующем, в таком коротком тексте невозможно. Ограничусь поэтому лишь краткой и не претендующей на полноту хронологией событий, свидетелем – и до определенной степени участником – которых мне довелось быть.

Построение В.А. Васильевым теории инвариантов конечного порядка. Свой доклад на 1-м Европейском математическом конгрессе в Париже в 1992 году Арнольд целиком посвятил работам Васильева, что сразу же сделало последние знаменитыми.

Построение теории зеркальной симметрии – фундаментального феномена теоретической физики, первые проявления которого были обнаружены при изучении особенностей модальности 1 и которым В. И. дал название «странная двойственность».

Введение понятия фробениусовой структуры, предвосхищенного в работах А. Гивенталя, ученика Владимира Игоревича, и открытого К. Саито. Из теории особенностей это понятие перешло в математическую физику, и фробениусова геометрия играет ключевую роль в современных физических теориях.

Продолжающееся до сих пор построение теории функциональных пространств – подобно тому, как особенности отдельной функции образуют скелет её графика, функции со сложными особенностями образуют скелет функционального пространства. У истоков этой теории стоит начатое Р. Томом исследование глобальных особенностей функций – особенностей, неизбежно возникающих у общих функций на компактных многообразиях.

Построение теории лагранжевых и лежандровых особенностей, необходимая для описания распространения волн в различных средах.

Инициированное Арнольдом построение теории инвариантов конечного порядка плоских кривых. Эта теория, в основе которой лежат далекие обобщения индекса Уитни, близка к теории инвариантов узлов, однако существенно отличается от нее в некоторых аспектах.

Можно без преувеличения сказать, что современная математика и математическая физика интенсивно используют результаты теории особенностей, а сама теория продолжает развиваться и приносить новые плоды.

Самое главное, что ученик должен узнать от учителя,

– это то, что некоторый вопрос ещё не решен.

Для Владимира Игоревича Арнольда исследования и обучение были неразделимы. Став старшекурсником, он начинает вести семинар, первыми участниками которого были, по существу, его сверстники. Самые юные из участников (Эдуард Белага и Андрей Леонтович) затем стали его аспирантами и защитили диссертации под его руководством. Всего же он был официальным руководителем более 60 кандидатских диссертаций, а к школе Арнольда себя относит и множество людей, никогда не бывших его формальными учениками.

Помимо семинара он, будучи до середины 1980 годов преподавателем мехмата МГУ, регулярно читал обязательный курс обыкновенных дифференциальных уравнений, а также разнообразные специальные курсы, содержание которых определялось его текущими интересами. В дальнейшем эти курсы ложились в основу его книг (в редких случаях – с соавторами, в качестве которых выступали его ученики).

Семинар Арнольда, начавший свою работу в 1958 г., существовал до самой смерти своего основателя (и даже после его смерти – он проходил под руководством учеников Владимира Игоревича и завершил свою работу в весеннем семестре 2011 г.).

Несмотря на то, что в начале 90-х годов Владимир Игоревич принял приглашение университета Париж-Дофин и занял там пост постоянного профессора, он оговорил свое право проводить во Франции лишь половину учебного года. Вторую половину года он был в Москве и руководил семинаром непосредственно, тогда как один семестр ежегодно работа шла при его удаленном участии. Так что в течение более 50 лет практически каждый вторник в течение учебного года около 4-х часов дня (время начала семинара немножко менялось в зависимости от расписания звонков) аудиторию 14-14 на мехмате МГУ заполняли как математики в возрасте, так и зеленая молодежь, желавшие, в первую очередь, послушать Владимира Игоревича. Действительно, несмотря на то, что докладчиком на семинаре выступал, как правило, кто-нибудь другой, комментарии самого руководителя составляли главную часть события.

На огонек семинара, который ведет молодой активный исследователь, стекаются самые разные люди. Такой семинар и привлекает, и отталкивает – страшно самому оказаться не на высоте, обнаружить свое несоответствие уровню семинара. Поэтому приживались на нем люди не только сильные, но и обладавшие достаточной наглостью, чтобы пережить – неизбежное и зачастую многолетнее – непонимание большинства докладов и обсуждений. Поведение Арнольда немало способствовало закреплению новых участников. Выступление докладчика, как правило, понять было нельзя. Я появился на семинаре в конце 70-х годов, когда построение теории особенностей давно миновало начальную фазу, и объем знаний, накопленный старожилами семинара, позволял им легко ориентироваться в докладах на эту тему. Напротив, для человека нового то, что все присутствовавшие, по-видимому, воспринимали как нечто совершенно естественное, звучало китайской грамотой. Несколько облегчало жизнь лишь искусство Арнольда, регулярно прерывавшего докладчика и объяснявшего на простых примерах, которые он извлекал из своей необъятной и ничего не теряющей памяти, суть описываемых в докладе явлений. В том же, что эти примеры приходили ему на ум, не было ничего удивительного: зачастую доклад представлял собой изложение теории, отправной точкой которой послужили как раз эти обнаруженные самим Арнольдом примеры и вопросы, оставленные им на основе этих примеров.

Даже в эти годы семинар не ограничивался обсуждением лишь вопросов теории особенностей. Непрестанный интерес Арнольда к самым разным математическим идеям позволял ему выхватывать из огромного потока работ ключевые, сулившие наиболее интересные продвижения. Неся обязанности главного редактора журнала «Функциональный анализ и его приложения», входя в редколлегии многих иностранных журналов, он всегда прочитывал множество работ, вникая не только в их содержание, но и в существенные детали доказательств. Желая привлечь к работе внимание, зарубежные коллеги часто присылали ему статьи ещё до появления их в печати. Напротив, непосредственный доступ всех остальных участников семинара к зарубежным статьям был ограничен – хотя библиотека мехмата и обладала неплохой по тем временам подпиской на иностранные журналы, их получение часто задерживалось. Работы, вызвавшие его интерес, предлагались участникам семинара для разбора и, в случае если их предполагаемые достоинства находили подтверждение, – последующего доклада. Почти все эти работы докладывались – интуиция подводила Арнольда крайне редко.

Именно семинар и был тем горшком, в котором варился бульон школы Арнольда. Семинар был местом, где встречались люди, работающие в разных учреждениях и (если повезло) институтах, не имевшие возможности встречаться в других местах. Разговоры начинались задолго до его начала и продолжались по нескольку часов после его окончания. Именно из этого семинара выросли такие замечательные математики, как Александр Варченко, Виктор Васильев, Александр Гивенталь, Виктор Горюнов, Сабир Гусейн-Заде, Владимир Закалюкин, Юлий Ильяшенко, Максим Казарян, Михаил Севрюк, Борис Хесин, Аскольд Хованский, Борис и Михаил Шапиро и многие другие. Часть из них продолжает работать в Москве, другие разъехались по всему свету. Влияние, оказанное Владимиром Игоревичем на развитие своих учеников, огромно – его следы в их работах видны до сих пор несмотря на то, что срок ученичества закончился десятилетия назад. Может быть, более важно, что каждый из нас, его учеников, в меру своих способностей унаследовал от Владимира Игоревича его взгляд на математику в целом, на то, что является в нашей науке главным, а что не принципиально, и пытается донести этот взгляд до своих учеников.

Стремясь достичь понимания предмета, Владимир Игоревич Арнольд думал задачами. В начале каждого семестра участникам семинара предлагался список из 10-12 задач, которые он считал важными и – что весьма существенно – разрешимыми. По большей части это были задачи, возникшие у него самого, однако иногда в список попадали и вопросы других математиков, привлекшие его внимание. Впоследствии эти задачи составили сборник «Задачи Арнольда» [5], куда вошли в том числе и задачи самых первых семинаров – с конца 1950-х.

Участники семинара выбирали для себя задачи по своему усмотрению, руководствуясь собственными интересами и пристрастиями. Иногда Владимир Игоревич выражал желание, чтобы тот или иной участник посмотрел на конкретную задачу (полагая, что именно его знания позволят справиться с ней быстро). Однако эти рекомендации никогда не были настоятельными и никогда не оборачивались требованиями – по мнению Арнольда, выбор задачи по значимости сравним с выбором невесты, и никакое насилие здесь недопустимо. Основываясь на многолетних наблюдениях, Арнольд оценивал период полураспада задач – промежуток, за который решалась половина задач из предложенного списка, – в 7 лет.

Эти задачи никогда не придумывались искусственно. Они возникали следующим образом. Придя к выводу, что для понимания предмета требуется ответить на тот или иной вопрос, Арнольд начинал этот вопрос последовательно упрощать, сводя его постепенно к тому первому частному случаю, в котором ответ на него был неизвестен, и его не удавалось быстро найти. В процессе упрощения менялись не только параметры задачи – упрощалась и её формулировка. В современной математике уже для понимания условия задачи нередко требуется огромный объем знаний, что служит серьезным препятствием для начинающих свой путь в науке. Выполнявшаяся Арнольдом огромная работа значительно снижала этот барьер, предоставляя возможность большому количеству молодежи попробовать свои силы. В результате, как сказали бы сейчас, база нерешенных задач была открытой – любой желающий мог не только ознакомиться с их списком, но и понять, в чем они состоят.

Приведу близкий мне пример. Каждой конечнократной локальной особенности функции можно сопоставить её спектр – конечный набор рациональных чисел. При деформации особенности её спектр меняется, и Арнольд поставил задачу – доказать, что в определенном смысле спектр может только уменьшиться.

Строгое определение спектра требует использования введенных Дж. Стинбринком смешанных структур Ходжа в исчезающих когомологиях особенностей. На одно усвоение этих понятий у неподготовленного человека могут уйти годы. Но для случая функций двух переменных Арнольд нашел такое переопределение понятия спектра в терминах целых точек внутри многоугольников и такую переформулировку задачи, что на объяснение её условия мне, ничего про особенности не знавшему, ушло несколько минут. Она приняла чисто комбинаторную форму. После того, как я через два месяца принес Владимиру Игоревичу её решение, он дал согласие взять меня в аспирантуру. Полное же доказательство полунепрерывности спектра особенности было получено А.Н. Варченко спустя несколько лет.

Нужно понимать при этом, что Арнольд сохранял в памяти весь путь, который привел его к окончательной формулировке задачи. Нередко оказывалось так – и именно на это была нацелена работа по переформулировке – что решение нетривиального частного случая открывало прямой путь к получению значительно более общих результатов, а оттуда и к построению содержательной теории. (В упомянутом выше случае с полунепрерывностью спектра такого не произошло – разбирая многомерную ситуацию, Варченко не использовал ничего из моих результатов для двух переменных.)

Впрочем, случалось и такое, что формально верное решение задачи Арнольда не удовлетворяло. В таких случаях он сердился и говорил, что ученики всегда решают не ту задачу, которая им поставлена, а ту, которую они умеют решать. Многие из поставленных Владимиром Игоревичем задач ещё ждут своего решения.

Сборники нерешенных задач в различных областях математики – явление привычное. Специалисты в каждой области нередко составляют их на своих конференциях и публикуют. Однако я не знаю ничего сравнимого по совершенству формулировок и по богатству мысли с этим результатом многолетнего труда одного человека; списку задач Арнольда уступают, на мой взгляд, и имеющий совсем другой жанр список проблем Гильберта, и предложенный Институтом Клэя список проблем тысячелетия.

если бы Нобелевские премии и академические

К счастью, на развитие нашей замечательной

Яркий взлет Арнольда был отмечен несколькими престижными наградами. Он чрезвычайно ценил Премию Московского математического общества для молодых математиков, которую получил в 1960-м году. Впоследствии, уже будучи президентом этого общества, он прикладывал все усилия к тому, чтобы поднять престиж этой премии.

В 1965 г. В.И. Арнольду и А.Н. Колмогорову за разработку КАМ-теории была присуждена Ленинская премия. В Советском Союзе более высокое признание научных заслуг со стороны государства было невозможно. В том же году Арнольду не хватило одного голоса для избрания – минуя стадию члена-корреспондента – в действительные члены Академии наук СССР.

В дальнейшем казавшаяся поначалу блестящей академическая карьера не имела быстрого развития. Так, избрание в Академию наук СССР произошло лишь спустя долгих 25 лет после первой попытки. Причиной тому послужила, по-видимому, независимость взглядов Владимира Игоревича, высказываемые им без оглядки на личности мнения о математическом содержании работ тех или иных авторов. Под огонь его критики не раз попадали и академики. Не последнюю роль в установлении серьезных барьеров на его пути сыграло и подписание им в 1968 году «Письмá 99-ти» в защиту логика А.С. Есенина-Вольпина, подвергнутого принудительному психиатрическому лечению, – пожалуй, единственный «диссидентский» поступок Арнольда. Все подписавшие это письмо так или иначе пострадали, и до конца 1980 годов Арнольд практически не имел возможности бывать за границей. Он считал, что ограниченность его общения с зарубежными математиками (их приезды в Россию были редки и кратковременны) сугубо отрицательно повлияла на его математические достижения, и жалел о том, что подписал письмо.

В то же время в мировом математическом сообществе признание заслуг Арнольда было безусловным. Дважды (в 1974 году в Ванкувере и в 1983 году в Варшаве) он был приглашенным пленарным докладчиком Международного математического конгресса, в 1958 году в Эдинбурге – секционным, и в 1966 в Москве делал специальный получасовой доклад. В 1996-2002 гг. он был членом Исполнительного комитета и вице-президентом Международного математического союза.

В 1982 году Арнольду (совместно с Л. Ниренбергом, США) была присуждена только что учрежденная и сразу же ставшая престижной Крафордская премия Шведской Королевской Академии наук – его не выпустили в Стокгольм для получения премии. В 1987 году он стал Почетным иностранным членом Американской академии наук и искусств, в 1988 году – иностранным членом Лондонского Королевского общества. Больше же всего из знаков признания он ценил избрание его почетным членом Лондонского математического общества (1976). По его словам, этот почетный клуб гораздо представительнее, чем подбор лауреатов медали Филдса. А вот от предложенного ему членства в Папской академии он отказался, объяснив папе Иоанну Павлу II, что сделал это из-за до сих пор не отмененного приговора, вынесенного инквизицией Джордано Бруно в 1600 г. В 2001 году Арнольд получил премию Вольфа – «за глубокую и оказавшую большое влияние работу во многих областях математики, включая динамические системы, дифференциальные уравнения и теорию особенностей».

Смена государственного устройства в Советском Союзе и одновременный скачок цен, не сопровождавшийся ростом зарплаты, привели Владимира Игоревича, как и многих других математиков и не только, к необходимости искать новые источники дохода. С детства свободно владея французским языком и с удовольствием вспоминая свою долговременную поездку во Францию в 1964–1965 гг., он из многих сделанных ему предложений выбрал парижский университет Дофин. Тем временем неспешно крутящиеся жернова государственной машины в конце концов вызвали изменение формата Государственной премии России, и среди первых лауреатов новой премии (2007 г.) был и Владимир Игоревич Арнольд – так государство утверждало её престиж. Последовавшая через год Премия Шау («азиатская нобелевка»), которую Арнольд разделил с Л.Д. Фаддеевым, стала ещё одним подтверждением мирового признания, уже не только в среде математиков.

1. Страница памяти В. И. Арнольда на сайте Московского центра непрерывного математического образования http://www.mccme.ru/arnold/

2. Tribute to Vladimir Arnold. Boris Khesin and Serge Tabachnikov, coordinating editors // Notices Amer. Math. Soc. 2012. Vol. 59, № 3. P. 378–399.

3. Memories of Vladimir Arnold. Boris Khesin and Serge Tabachnikov, coordinating editors //

4. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых

5. Arnold V. I. Arnold’s problems. – Springer-Verlag, Berlin; PHASIS, Moscow, 2004.

[*] Первоначальная версия статьи опубликована в журнале «Математика в высшем образовании», №10 (2012). Публикуется с любезного согласия редакции этого журнала.