Кто Вы, Г. Эрдман?

Студенты, высших учебных заведений, углублённо изучающие математическую дисциплину под названием вариационное исчисление, наверняка хотя бы слышали про так называемое условие Вейерштрасса-Эрдмана (см., например, [1, с. 284]). Если сведения о выдающемся немецком учёном Карле Вейерштрассе содержатся практически в любом математическом справочнике, то про Г. Эрдмана ничего подобного сказать нельзя. Более того, в течение нескольких лет я пытался расшифровать букву Г, чтобы выяснить хотя бы имя Эрдмана (разумеется, активно используя Интернет) – но мне так и не удалось этого добиться[1]. Вот почему и была написана предлагаемая читателям работа с целью привлечь их внимание к этой загадочной личности.

1. О возникновении вариационного исчисления

Сначала, используя[2], коротко напомним об истории появления самого вариационного исчисления.

Вариационное исчисление возникло в конце XVII века. Рождение этой ветви анализа обычно отсчитывают от 1696 года, когда в июньском выпуске Лейпцигского журнала «Acta Eruditorum»[З][2] появилась заметка Иоганна Бернулли (1667-1748), приглашающая математиков к решению следующей задачи: каков должен быть путь АМВ, спускаясь по которому под влиянием собственной тяжести, тело М, начав двигаться из точки А, дойдёт до точки В в кратчайшее время? Эту задачу уже в 1696-1697 годы решили сам Иоганн Бернулли, его брат Якоб Бернулли (1654-1705), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь (1661-1704), и ещё анонимный автор, в котором Иоганн Бернулли сразу признал Исаака Ньютона (1643-1727) «ex unge leonem» («как по когтям льва» (лат.)). Кривой наибыстрейшего спуска (или брахистохроной) оказалась циклоида.

Иоганн Бернулли поставил перед юношей, слушавшим его лекции в Базельском университете, проблему найти общий метод решения задач, сходных с задачей о брахистохроне. Этим юношей (поступившим в университет в 13 лет) был Леонард Эйлер (1707-1783). Эйлер формализовал класс задач, включающий в себя и задачу о брахистохроне. Для таких задач Эйлер нашёл аналог условия Ферма: экстремальная кривая должна удовлетворять дифференциальному уравнению второго порядка, получившему название уравнения Эйлера. Это уравнение, опубликованное Эйлером в 1744 году, было выведено им «прямым методом», использующим дискретизацию исходной задачи (с помощью аппроксимации кривых ломаными), сводящей её к конечномерной экстремальной задаче и последующему предельному переходу.

Опираясь на «прямой метод», Эйлер, начиная с 1728 года, опубликовал решения других конкретных задач вариационного исчисления, и итог своей почти двадцатилетней деятельности в этом направлении он подвёл выпуском в 1744 году фундаментального мемуара[4]. А в 1755 году он получил письмо из Турина от девятнадцатилетнего юноши Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813), в котором ему сообщалось что, помимо «прямого метода», существует иной подход к решению искомых экстремальных задач, основанный на выделении у максимизируемого (минимизируемого) функционала главной линейной части его приращения (при варьировании кривой, подозреваемой на экстремум) и на требовании её обращения в нуль. Основные результаты этих исследований Лагранж опубликовал в 1762 году в[5][3]. Подробное изложение искомого «вариационного метода», а также сам термин «вариация» появились в 1766 году в работе Эйлера[6], и в ней же весь раздел математики, в котором методом вариации решались задачи на экстремум интегралов, было предложено называть вариационным исчислением.

Эйлер и Лагранж исследовали также экстремальные задачи с ограничениями, в частности, изопериметрические задачи. Для подобных задач Лагранж стал применять общий приём, суть которого он выразил в 1797 году на примере конечномерных задач с ограничениями типа равенств в трактате по теории аналитических функций[7] словами: «Если ищется максимум (или минимум) некоторых функций многих переменных при условии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая одним или несколькими уравнениями, нужно к максимизируемой (минимизируемой) функции прибавить функции, задающие уравнения связи, умноженные на неопределённые множители, и искать затем максимум (минимум) построенной суммы, как если бы переменные были независимы. Полученные уравнения, присоединенные к уравнениям связи, послужат для определения всех неизвестных». Этот принцип получил название правила множителей Лагранжа.

Идеей «правила множителей» Лагранж обладал ещё в «берлинском периоде» своей жизни – в 1766-1787 годы он был президентом Берлинской Академии наук. В 1788 году, будучи уже в Париже (куда он переехал после избрания в действительные члены Парижской Академии наук), Лагранж опубликовал своё знаменитейшее произведение по аналитической механике[8], в котором построил здание классической механики, исходя из вариационного принципа стационарного действия. Там он неоднократно применял правило множителей для решения задач вариационного исчисления.

В XVIII веке стали подробно исследоваться и достаточные условия экстремума. Вообще-то вопрос о достаточных условиях экстремальности в вариационном исчислении начал изучать ещё Иоганн Бернулли в 1718 году, но его деятельность в этом направлении оставалась неизвестной вплоть до XX века. Систематически этой проблемой стал заниматься Адриен-Мари Лежандр (1752-1833). В 1786 году он опубликовал свой мемуар о различении максимумов и минимумов в вариационном исчислении[9], в котором была рассмотрена вторая вариация функционала для простейшей задачи вариационного исчисления. В нём появилось условие Лежандра в качестве необходимого требования для достижения на кривой экстремума функционала[4]. Некоторое время Лежандр полагал, что напрашивающееся усиление этого требования, в дальнейшем названное усиленным условием Лежандра, является и достаточным для экстремальности функционала на искомой кривой. Но затем и он сам, и Лагранж осознали, что это не так. Исчерпывающий ответ на вопрос о достаточных условиях экстремума для рассматриваемых задач вариационного исчисления оставался открытым до 30-х годов XIX столетия.

2. Развитие вариационного исчисления в XIX веке

В XIX столетии в вариационном исчислении было продолжено изучение различных разветвлений общей теории. В частности, возникшие ещё в трудах Эйлера и Лагранжа вариационные задачи со старшими производными, стали предметом рассмотрений для Симеона Дени Пуассона (1781-1840).

Значительная доля исследований в XIX веке была посвящена вариационным задачам, в которых аргумент минимизируемого (максимизируемого) функционала зависит от нескольких переменных. Аналог уравнения Эйлера для таких задач был найден Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855) в двумерном и Михаилом Васильевичем Остроградским (1801-1862) в многомерном случаях. Исследования Лагранжа по минимальным поверхностям были продолжены Жозефом Антуаном Фердинандом Плато (1801-1883). Отметим здесь же и деятельность Георга Фридриха Бернхарда Римана (1826-1866) по анализу задачи Дирихле.

Новый этап развития вариационного исчисления в XIX веке связан с именами Карла Густава Якоба Якоби (1804-1851) и Вильяма Роуана Гамильтона (1805-1865).

В 1836 году (спустя полвека после публикации Лежандра) вопрос как о необходимых условиях, так и о достаточных условиях «слабого» экстремума (когда сравнивается близость не только самих функций, но и их производных), был окончательно разрешён Якоби. Он понял, что для их отчётливого формулирования, помимо выполнения на рассматриваемой экстремали задачи вариационного исчисления (т.е. на функции, являющейся решением уравнения Эйлера данной задачи), исходных ограничений и усиленного условия Лежандра, должны присутствовать ещё некоторые «нелокальные» требования экстремальности функционала. Именно Якоби показал, что необходимым условием слабого экстремума является (при реализации усиленного условия Лежандра) отсутствие в интервале между начальной и конечной точкой экстремали сопряжённой точки (т.е. точки пересечения экстремали с огибающей пучка экстремалей, исходящего из начальной точки). Подобное требование называется ныне условием Якоби. Отсутствие сопряжённой точки в соответствующем полуинтервале (включающем в себя и саму точку пересечения огибающей пучка экстремалей с исследуемой экстремалью) ныне называется усиленным условием Якоби.

На исследования Якоби большое воздействие оказало творчество Гамильтона, связанное с изучением им задач механики и оптики. Идеи Гамильтона, в свою очередь, опирались на принцип Гюйгенса, который «в первом приближении» можно сформулировать так: функция, составленная из фрагментов экстремалей, может рассматриваться также как экстремаль.

Напомним, что Христиан Гюйгенс (1629-1695) строил волновую теорию света, и волновой фронт у него был «огибающей» волновых фронтов от источников света, принадлежащих некоторому предшествующему волновому фронту. Гамильтоном, развивающим такой подход для широкого класса задач естествознания, была заложена фундаментальная идея о возможности установления экстремальности во всякой вариационной задаче путём её возмущения, позволяющего включить её в семейство «близких задач». На этом пути и были получены соответствующие условия экстремальности, составляющие в вариационном исчислении теорию Гамильтона-Якоби.

Таким образом, к середине XIX века стало понятным, что уравнение Эйлера, а также условия Лежан­дра и Якоби являются фундаментальными условиями экстремума для задач вариационного исчисле­ния. Однако Якоби ещё не классифицировал экстремумы и не вводил понятие «сильного экстремума».

Изучение сильного экстремума вариационного исчисления в XIX веке в первую очередь связано с именем Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса (1815-1897). Он-то и осознал необходимость различать две топологии в вариационном исчислении - слабую и сильную. В соответствии с этим Вейерштрасс построил теорию сильного экстремума, дополнив ею исследования по слабому экстремуму. Он же установил необходимое и близкое к нему достаточное условие сильного экстремума, определя­емые знакоопределённостью соответствующей вспомогательной функции, строящейся по интегранту минимизируемого (максимизируемого) функционала (теперь подобную функцию называют функцией Вейерштрасса). Заметим, что эпитеты «слабый» и «сильный» (по-немецки schwaches и starkes) для экстремумов, а также сам термин «экстремаль» (по-немецки die Extremale), в вариационное исчисление были введены уже после смерти Вейерштрасса его учеником Адольфом Кнезером (1862-1930) в 1900 году в монографии [10].

Исследования Вейерштрасса, связанные с условиями экстремума в вариационном исчислении, развивали затем Адольф Майер (1839-1908), Оскар Больца (1857-1942), Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (1871-1953) и другие. Однако истинная суть теории сильного экстремума для задач вариационного исчисления была выявлена Анри Жюлем Пуанкаре (1854-1912) и Давидом Гильбертом (1862-1943).

Завершая краткий обзор развития вариационного исчисления в XIX веке, добавим, что геометрию экстремалей на базе понятий теории поля развивали не только уже упоминавшиеся Лагранж, Гаусс, Остроградский, Гамильтон, Якоби, но также Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859), Эудженио Бельтрами (1835-1900), Жан Гастон Дарбу (1842-1917), Саломон Жак Адамар (1865-1963), Эли Жозеф Картан (1869-1951) и их последователи. А условия экстремума для многомерных задач являлись предметом изучения для Константина Каратеодори (1873-1950) и Германа Клауса Хуго Вейля (1885-1955).

3. Условие Вейерштрасса-Эрдмана для задач вариационного исчисления

Смысл условия Вейерштрасса-Эрдмана мы поясним на примере простейшей задачи вариационного исчисления, рассматривая её лишь на минимум.

Итак, предположим, что в качестве исходного класса функций, на котором рассматривается задача вариационного исчисления, берётся линейное пространство

определяемое совокупностью непрерывно-дифференцируемых скалярных функций, заданных на конечном отрезке, причём снабжённое либо своей естественной нормировкой , либо нормой . Тогда под простейшей задачей вариационного исчисления мы будем понимать экстремальную задачу вида

              (P)

где  – переменная состояния,  – её производная,  – интегрант задачи, полагаемый непрерывно дифференцируемой функцией от своих переменных.

Вводя обозначение  и допустимое множество

получаем, что предметом поиска в задаче (Р) служит элемент , на котором минимизируется функционал .

Элемент  называется слабым минимумом данной задачи ( ), если

и её сильным минимумом ( ), если

Ясно, что если функция  доставляет в задаче сильный минимум, то она доставляет в этой задаче и слабый минимум. Поэтому для таких функций необходимое условие слабого минимума является и необходимым условием сильного минимума, а достаточное условие сильного минимума служит и достаточным условием слабого минимума. Поскольку из контекста будет понятно, о каком типе минимума идёт речь, то далее мы его будем называть (с применением соответствующей символики) просто минимумом.

Введём для (Р) обозначения:

Тогда, согласно указанным классическим исследованиям Эйлера-Лагранжа, минимум  в задаче (Р) следует искать среди решений уравнения Эйлера[5]

то есть среди двухпараметрического семейства[6] его общего решения

Точнее, если

то на  необходимо должно выполняться условие стационарности

Параметры  затем конкретизируются из исходных краевых условий, если только соответствующая краевая задача разрешима.

Каждое частное решение уравнения Эйлера, как уже указывалось, называют экстремалью для рассматриваемой задачи, а при удовлетворении ею краевым условиям – соответственно, критической экстремалью. После построения критической экстремали требуется ещё проверить, является ли она действительно ответом на поставленную задачу или это не так.

Мы уже отмечали, что, используя сформулированное необходимое условие экстремума, благополучно были решены на первоначальном этапе своего развития многие задачи вариационного исчисления. Однако в середине XIX века появилась нужда решать в вариационном исчислении задачи, у которых ответ (с физической точки зрения) заведомо не может обладать гладкостью  Тогда-то и возникла идея искать решение подобных задач в расширенном функциональном классе, требуя от элементов класса сохранения их непрерывности, но допуская для них существование так называемых угловых точек  где происходит разрыв их производных.

Для простейшей вариационной задачи в качестве такого класса функций берётся линейное пространство  

определяемое совокупностью непрерывных кусочно-дифференцируемых скалярных функций, заданных на конечном отрезке  снабжённое нормировкой [7]. В ходе исследования было понято, что минимум в такой задаче нужно искать уже среди функций, склеенных в угловых точках из кусков различных экстремалей рассматриваемой задачи[8] _. В частности, по отношению к задаче (Р), было показано, что для того, чтобы функция

доставляла бы минимум в задаче (Р), необходимо чтобы она была бы так склеена из кусков экстремалей данной задачи, что в угловых точках  удовлетворялись бы требования непрерывности для двух специальных величин:

А) канонической переменной

 где

и

Б) гамильтониана

 где

Для задачи (Р) «лучше всего», когда интегрант  строго выпукл относительно переменной . Тогда у задачи угловых точек просто быть не может. Подобные задачи называют регулярными.

Введение угловых точек позволяет решать квазирегулярные задачи, когда у интегранта  строй??? строгой?? выпуклости по переменной  нет, но имеется (по этой переменной) «обычная» выпуклость.

Что же касается невыпуклости по  интегранта

  ,

то по этому поводу мы лишь упомянем про исследования Николая Николаевича Боголюбова (1909-1992), где было показано, что всегда можно организовать соответствующее «овыпукление» интегранта, при котором минимизирующие последовательности у исходной и «овыпукленной» задачи будут одними и теми же.

Для большей ясности поясним идеологию анализа задач с угловыми точками на примере (Р) в предположении, что у решения задачи имеется лишь одна угловая точка.

Именно объявив её неизвестным параметром , далее можно поступать так:

для «левого» подпромежутка  из общего семейства экстремалей рассматриваемой экстремальной задачи следует выделить однопараметрическое подсемейство экстремалей первого типа , удовлетворяющее условию ;

для «правого» подпромежутка  из общего семейства экстремалей искомой экстремальной задачи следует выделить однопараметрическое подсемейство экстремалей второго типа , удовлетворяющее условию ;

три параметра  затем следует «непрерывным образом» конкретизировать для всего промежутка , то есть найти такие их значения , которые удовлетворяют системе трёх уравнений, возникающих при «непрерывной склейке» в точке , во-первых, экстремали первого типа  с экстремалью второго типа , во-вторых, канонической переменной  и, в-третьих, гамильтониана .

Требование «непрерывной склейки» в угловых точках, как для канонической переменной, так и для гамильтониана, в вариационном исчислении и принято называть условием Вейерштрасса-Эрдмана.

4. Заключительное замечание относительно условия Вейерштрасса-Эрдмана

Считается, что впервые искомое условие высказал на своих лекциях в 1865 году Вейерштрасс. Опубликовано оно было много позже, видимо, лишь при издании его учениками собрания сочинений Вейерштрасса в семи томах – в частности, посвящённый вариационному исчислению 7-й том[11], отредактированный Рудольфом Эрнстом Роте (1873-1942), появился в 1927 году. Поэтому не удивительно, что в 1877 году в знаменитом Берлинском математическом журнале «Journal fur die reine und angewandte Mathematik» появляется статья по вариационным задачам с угловыми точками[12] некоего господина Г. Эрдмана (Von Herrn G. Erdmann) с завершающей пометкой «Берлин, 15 ноября 1875 года» (Berlin, den 15, November 1875). Поскольку в этом журнале было принято указывать и рецензентов издающихся статей, то нам известно, что положительное заключение на её публикацию дал Адольф Майер. Однако неясно, читал ли её Карл Вейерштрасс.

В статье Эрдмана подчёркивается, что на исследование в вариационном исчислении задач с угловыми точками его натолкнуло сочинение[13] Исаака Тодгентера (1822-1884), изданное в Лондоне в 1871 году, а Вейерштрасс в его статье нигде не упоминается. Причём для простейшей задачи вариационного исчисления в статье Эрдмана показывается, что ответом к задаче будет служить функция, склеенная из экстремалей с соблюдением непрерывности в угловых точках канонической переменной задачи и её гамильтониана (только гамильтониан там строится с противоположным знаком). Далее разбираются некоторые примеры.

Мы заинтересовались, кто же это Г. Эрдманн? Удалось лишь выяснить, что, кроме этой «Берлинской» статьи, им опубликовано ещё три математические статьи[14]-[16], соответственно, в 1877 году, в 1878 году и в 1881 году, изданные в Лейпцигском сборнике «Zeitschrift fur Mathematik und Physik». Все они относятся к вариационному исчислению, но в них уже ни слова не говорится о вариационных задачах с угловыми точками, а, наоборот, изучаются гладкие решения в таких задачах. И, опять же, имя автора обозначено лишь одной буквой «Г», хотя о нем указывается:

в [14] – что он учитель гимназии в Берлине (Gymnasiallehrer in Berlin),

в [15] – что он учитель гимназии в Кёнигсберге (Gymnasiallehrer in Konigsberg)[9]_,

в [16] – что он учитель гимназии в Инстербурге (Gymnasiallehrer in Insterburg)[10]_.

После 1881 года имя этого автора исчезает из математических журналов. Так у нас и возник вопрос: «Кто Вы, Г.Эрдман?».

Список литературы

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Москва, Физматлит, 2007.

2. Демидович В.Б., Тихомиров В.М. Кафедра общих проблем управления: немного о прошлом и настоящем // Москва, Сборник «Математика в Московском университете на пороге XXI века (под редакцией С.С.Демидова, К.А.Рыбникова)», Центр прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2005, С. 3-101.

3. Bernoulli J. Problema novum ad cujus solutionem mathematice invitantur // Lipsiae, Acta Eruditorum, 1696, T. 6, C. 119-123.

4. Euler L. Methodus inveniendi lineas curvas proprietate maximi minimive gaudentes. Lausanne-Geneva, 1744.

5. Lagrange J.L. Essai d’une nouvelle methode pour determiner les maxima et les minima des formules integrales indefinies // Torino, Miscellanea Taurinensia, 1762, T. 2, C. 335-362.

6. Euler L. Elementa calculi variationum // St. Petersburg, Novi Commentarii academiae scientiarum imperiales Petropolitanae, 1766, T. 10, C. 51-93.

7. Lagrange J.L. Theorie des fonctions analytiques. Paris, Imprimerie de la Republique, 1797.

8. Lagrange J.L. Mecanique analytique. Paris, Veuve Desaint, 1788.

9. Legendre A.-M. Memoire sur la maniere de distinguer les maxima des minima dans le calcul de variations // Paris, Histoire de l’Academie royale des sciences, 1786 (ed. 1788), C. 7-37.

10. Kneser A. Lehrbuch der Variationsrechnung. Braunschweig, Friedrich Vieweg und Sohn, 1900.

11. Weierstrass K. Mathematische Werke, Bd. 7: Vorlesungen uber Variationsrechnung (bearbeitet von Rudolf Rothe). Berlin-Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1927.

12. Erdmann G. Uber unstetige Losungen in der Variationsrechnung // Berlin, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1877, T. 82, C. 21-30.

13. Todhunter I. Researches in the calculus of variations, principially in the theory of discontinuous solutions. London-Cambridge, MacMillan, 1871.

14. Erdmann G. Untersuchung der hoheren Variationen einfacher Integrale // Leipzig, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1877, T. 22, C. 324-331.

15. Erdmann G. Zur Untersuchung der zweiten Variation einfacher Integrale // Leipzig, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1878, T. 23, C. 362-379.

16. Erdmann G. Uber die Variationen n -ter Ordnung // Leipzig, Zeitschrift fur Mathematik und Physik, 1881, T. 26, C. 73-97.

Примечания